Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3881 / 2153
↖ ↑ ↗
← N 64.605038°
W  9.448242°		 ← 2 095.60 m → N 64.605038°
W  9.404297°		 →
↑
2 096.31 m
↓
↑
2 096.31 m
↓
N 64.586185°
W  9.448242°		 ← 2 097.05 m →
4 394 559 m²		 N 64.586185°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47381591796875 y=0.26287841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47381591796875 × 213)
    floor (0.47381591796875 × 8192)
    floor (3881.5)     		tx = 3881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26287841796875 × 213)
    floor (0.26287841796875 × 8192)
    floor (2153.5)     		ty = 2153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3881 / 2153 ti = "13/3881/2153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3881/2153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3881 ÷ 213
    3881 ÷ 8192     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2153 ÷ 213
    2153 ÷ 8192     		y = 0.2628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2628173828125 × 2 - 1) × π
    0.474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49026233538831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49026233538831))-π/2
    2×atan(4.43825967887308)-π/2
    2×1.3491834725404-π/2
    2.69836694508079-1.57079632675     		φ = 1.12757062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12757062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3881 KachelY 2153 -0.16490293 1.12757062 -9.448242 64.605038
    Oben rechts KachelX + 1 3882 KachelY 2153 -0.16413594 1.12757062 -9.404297 64.605038
    Unten links KachelX 3881 KachelY + 1 2154 -0.16490293 1.12724158 -9.448242 64.586185
    Unten rechts KachelX + 1 3882 KachelY + 1 2154 -0.16413594 1.12724158 -9.404297 64.586185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12757062-1.12724158) × R
    0.000329040000000003 × 6371000     		dl = 2096.31384000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12757062-1.12724158) × R
    0.000329040000000003 × 6371000     		dr = 2096.31384000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(1.12757062) × R
    0.000766989999999995 × 0.428855707605151 × 6371000     		do = 2095.60053759076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(1.12724158) × R
    0.000766989999999995 × 0.429152930237076 × 6371000     		du = 2097.05291398729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12757062)-sin(1.12724158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428855707605151-0.429152930237076)×R²
    abs(-0.16413594--0.16490293)×0.000297222631924166×R²
    0.000766989999999995×0.000297222631924166×6371000²
    0.000766989999999995×0.000297222631924166×40589641000000     		ar = 4394558.76808207m²