Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38808 / 28696
↖ ↑ ↗
← N 21.820708°
E 33.178711°		 ← 567.03 m → N 21.820708°
E 33.184204°		 →
↑
567.08 m
↓
↑
567.08 m
↓
N 21.815608°
E 33.178711°		 ← 567.05 m →
321 556 m²		 N 21.815608°
E 33.184204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592170715332031 y=0.437873840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592170715332031 × 216)
    floor (0.592170715332031 × 65536)
    floor (38808.5)     		tx = 38808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437873840332031 × 216)
    floor (0.437873840332031 × 65536)
    floor (28696.5)     		ty = 28696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38808 / 28696 ti = "16/38808/28696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38808/28696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38808 ÷ 216
    38808 ÷ 65536     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28696 ÷ 216
    28696 ÷ 65536     		y = 0.4378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    0.124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390398110505737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390398110505737))-π/2
    2×atan(1.47756891251379)-π/2
    2×0.975819761975221-π/2
    1.95163952395044-1.57079632675     		φ = 0.38084320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38084320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.820708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38808 KachelY 28696 0.57907775 0.38084320 33.178711 21.820708
    Oben rechts KachelX + 1 38809 KachelY 28696 0.57917362 0.38084320 33.184204 21.820708
    Unten links KachelX 38808 KachelY + 1 28697 0.57907775 0.38075419 33.178711 21.815608
    Unten rechts KachelX + 1 38809 KachelY + 1 28697 0.57917362 0.38075419 33.184204 21.815608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38084320-0.38075419) × R
    8.90100000000005e-05 × 6371000     		dl = 567.082710000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38084320-0.38075419) × R
    8.90100000000005e-05 × 6371000     		dr = 567.082710000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57917362) × cos(0.38084320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928351545339893 × 6371000     		do = 567.025770154195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57917362) × cos(0.38075419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.928384626980807 × 6371000     		du = 567.045976015876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38084320)-sin(0.38075419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928351545339893-0.928384626980807)×R²
    abs(0.57917362-0.57907775)×3.30816409134238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30816409134238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30816409134238e-05×40589641000000     		ar = 321556.239788599m²