Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38807 / 29049
↖ ↑ ↗
← N 20.009484°
E 33.173218°		 ← 573.98 m → N 20.009484°
E 33.178711°		 →
↑
573.96 m
↓
↑
573.96 m
↓
N 20.004322°
E 33.173218°		 ← 574 m →
329 448 m²		 N 20.004322°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592155456542969 y=0.443260192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592155456542969 × 216)
    floor (0.592155456542969 × 65536)
    floor (38807.5)     		tx = 38807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443260192871094 × 216)
    floor (0.443260192871094 × 65536)
    floor (29049.5)     		ty = 29049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38807 / 29049 ti = "16/38807/29049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38807/29049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38807 ÷ 216
    38807 ÷ 65536     		x = 0.592147827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29049 ÷ 216
    29049 ÷ 65536     		y = 0.443252563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592147827148438 × 2 - 1) × π
    0.184295654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57898187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443252563476562 × 2 - 1) × π
    0.113494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.356554659373978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57898187} λ = 0.57898187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356554659373978))-π/2
    2×atan(1.42839960381306)-π/2
    2×0.960013851715443-π/2
    1.92002770343089-1.57079632675     		φ = 0.34923138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57898187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.173218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34923138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.009484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38807 KachelY 29049 0.57898187 0.34923138 33.173218 20.009484
    Oben rechts KachelX + 1 38808 KachelY 29049 0.57907775 0.34923138 33.178711 20.009484
    Unten links KachelX 38807 KachelY + 1 29050 0.57898187 0.34914129 33.173218 20.004322
    Unten rechts KachelX + 1 38808 KachelY + 1 29050 0.57907775 0.34914129 33.178711 20.004322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34923138-0.34914129) × R
    9.00899999999871e-05 × 6371000     		dl = 573.963389999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34923138-0.34914129) × R
    9.00899999999871e-05 × 6371000     		dr = 573.963389999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57898187-0.57907775) × cos(0.34923138) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.939635993454451 × 6371000     		do = 573.978037262545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57898187-0.57907775) × cos(0.34914129) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.939666816248783 × 6371000     		du = 573.996865412081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34923138)-sin(0.34914129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939635993454451-0.939666816248783)×R²
    abs(0.57907775-0.57898187)×3.0822794331975e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0822794331975e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0822794331975e-05×40589641000000     		ar = 329447.783609913m²