Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38805 / 30101
↖ ↑ ↗
← N 14.493190°
E 33.162232°		 ← 591.35 m → N 14.493190°
E 33.167725°		 →
↑
591.36 m
↓
↑
591.36 m
↓
N 14.487872°
E 33.162232°		 ← 591.37 m →
349 703 m²		 N 14.487872°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592124938964844 y=0.459312438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592124938964844 × 216)
    floor (0.592124938964844 × 65536)
    floor (38805.5)     		tx = 38805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459312438964844 × 216)
    floor (0.459312438964844 × 65536)
    floor (30101.5)     		ty = 30101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38805 / 30101 ti = "16/38805/30101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38805/30101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38805 ÷ 216
    38805 ÷ 65536     		x = 0.592117309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30101 ÷ 216
    30101 ÷ 65536     		y = 0.459304809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592117309570312 × 2 - 1) × π
    0.184234619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57879013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459304809570312 × 2 - 1) × π
    0.081390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.25569542257338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57879013} λ = 0.57879013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.25569542257338))-π/2
    2×atan(1.29135934912819)-π/2
    2×0.911875104445769-π/2
    1.82375020889154-1.57079632675     		φ = 0.25295388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57879013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.162232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25295388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.493190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38805 KachelY 30101 0.57879013 0.25295388 33.162232 14.493190
    Oben rechts KachelX + 1 38806 KachelY 30101 0.57888600 0.25295388 33.167725 14.493190
    Unten links KachelX 38805 KachelY + 1 30102 0.57879013 0.25286106 33.162232 14.487872
    Unten rechts KachelX + 1 38806 KachelY + 1 30102 0.57888600 0.25286106 33.167725 14.487872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25295388-0.25286106) × R
    9.28199999999935e-05 × 6371000     		dl = 591.356219999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25295388-0.25286106) × R
    9.28199999999935e-05 × 6371000     		dr = 591.356219999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57879013-0.57888600) × cos(0.25295388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968177394091672 × 6371000     		do = 591.350911501651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57879013-0.57888600) × cos(0.25286106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96820061951145 × 6371000     		du = 591.365097304004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25295388)-sin(0.25286106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968177394091672-0.96820061951145)×R²
    abs(0.57888600-0.57879013)×2.32254197776172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32254197776172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32254197776172e-05×40589641000000     		ar = 349703.234401634m²