Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38805 / 29051
↖ ↑ ↗
← N 19.999161°
E 33.162232°		 ← 573.96 m → N 19.999161°
E 33.167725°		 →
↑
574.03 m
↓
↑
574.03 m
↓
N 19.993998°
E 33.162232°		 ← 573.97 m →
329 472 m²		 N 19.993998°
E 33.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592124938964844 y=0.443290710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592124938964844 × 216)
    floor (0.592124938964844 × 65536)
    floor (38805.5)     		tx = 38805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443290710449219 × 216)
    floor (0.443290710449219 × 65536)
    floor (29051.5)     		ty = 29051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38805 / 29051 ti = "16/38805/29051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38805/29051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38805 ÷ 216
    38805 ÷ 65536     		x = 0.592117309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29051 ÷ 216
    29051 ÷ 65536     		y = 0.443283081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592117309570312 × 2 - 1) × π
    0.184234619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57879013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443283081054688 × 2 - 1) × π
    0.113433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356362911775497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57879013} λ = 0.57879013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356362911775497))-π/2
    2×atan(1.42812573787677)-π/2
    2×0.959923762287812-π/2
    1.91984752457562-1.57079632675     		φ = 0.34905120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57879013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.162232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34905120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.999161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38805 KachelY 29051 0.57879013 0.34905120 33.162232 19.999161
    Oben rechts KachelX + 1 38806 KachelY 29051 0.57888600 0.34905120 33.167725 19.999161
    Unten links KachelX 38805 KachelY + 1 29052 0.57879013 0.34896110 33.162232 19.993998
    Unten rechts KachelX + 1 38806 KachelY + 1 29052 0.57888600 0.34896110 33.167725 19.993998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34905120-0.34896110) × R
    9.00999999999819e-05 × 6371000     		dl = 574.027099999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34905120-0.34896110) × R
    9.00999999999819e-05 × 6371000     		dr = 574.027099999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57879013-0.57888600) × cos(0.34905120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939697631416583 × 6371000     		do = 573.955820767204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57879013-0.57888600) × cos(0.34896110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939728442376819 × 6371000     		du = 573.974639724898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34905120)-sin(0.34896110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939697631416583-0.939728442376819)×R²
    abs(0.57888600-0.57879013)×3.08109602361606e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08109602361606e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08109602361606e-05×40589641000000     		ar = 329471.596841624m²