Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38804 / 42160
↖ ↑ ↗
← S 45.767523°
E 33.156738°		 ← 426.11 m → S 45.767523°
E 33.162232°		 →
↑
426.03 m
↓
↑
426.03 m
↓
S 45.771355°
E 33.156738°		 ← 426.08 m →
181 530 m²		 S 45.771355°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592109680175781 y=0.643318176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592109680175781 × 216)
    floor (0.592109680175781 × 65536)
    floor (38804.5)     		tx = 38804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643318176269531 × 216)
    floor (0.643318176269531 × 65536)
    floor (42160.5)     		ty = 42160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38804 / 42160 ti = "16/38804/42160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38804/42160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38804 ÷ 216
    38804 ÷ 65536     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42160 ÷ 216
    42160 ÷ 65536     		y = 0.643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.28662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900446722463135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900446722463135))-π/2
    2×atan(0.406388076502439)-π/2
    2×0.386001180320613-π/2
    0.772002360641226-1.57079632675     		φ = -0.79879397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79879397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.767523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38804 KachelY 42160 0.57869425 -0.79879397 33.156738 -45.767523
    Oben rechts KachelX + 1 38805 KachelY 42160 0.57879013 -0.79879397 33.162232 -45.767523
    Unten links KachelX 38804 KachelY + 1 42161 0.57869425 -0.79886084 33.156738 -45.771355
    Unten rechts KachelX + 1 38805 KachelY + 1 42161 0.57879013 -0.79886084 33.162232 -45.771355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79879397--0.79886084) × R
    6.68700000000522e-05 × 6371000     		dl = 426.028770000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79879397--0.79886084) × R
    6.68700000000522e-05 × 6371000     		dr = 426.028770000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(-0.79879397) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.697571355420939 × 6371000     		do = 426.1124948647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(-0.79886084) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.697523440481883 × 6371000     		du = 426.083225953264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79879397)-sin(-0.79886084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697571355420939-0.697523440481883)×R²
    abs(0.57879013-0.57869425)×4.79149390557598e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79149390557598e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79149390557598e-05×40589641000000     		ar = 181529.947437547m²