Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38804 / 29110
↖ ↑ ↗
← N 19.694314°
E 33.156738°		 ← 575.12 m → N 19.694314°
E 33.162232°		 →
↑
575.11 m
↓
↑
575.11 m
↓
N 19.689142°
E 33.156738°		 ← 575.14 m →
330 762 m²		 N 19.689142°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592109680175781 y=0.444190979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592109680175781 × 216)
    floor (0.592109680175781 × 65536)
    floor (38804.5)     		tx = 38804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444190979003906 × 216)
    floor (0.444190979003906 × 65536)
    floor (29110.5)     		ty = 29110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38804 / 29110 ti = "16/38804/29110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38804/29110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38804 ÷ 216
    38804 ÷ 65536     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29110 ÷ 216
    29110 ÷ 65536     		y = 0.444183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    0.11163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.350706357620331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350706357620331))-π/2
    2×atan(1.42007027186889)-π/2
    2×0.957263477113865-π/2
    1.91452695422773-1.57079632675     		φ = 0.34373063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34373063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.694314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38804 KachelY 29110 0.57869425 0.34373063 33.156738 19.694314
    Oben rechts KachelX + 1 38805 KachelY 29110 0.57879013 0.34373063 33.162232 19.694314
    Unten links KachelX 38804 KachelY + 1 29111 0.57869425 0.34364036 33.156738 19.689142
    Unten rechts KachelX + 1 38805 KachelY + 1 29111 0.57879013 0.34364036 33.162232 19.689142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34373063-0.34364036) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dl = 575.110170000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34373063-0.34364036) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dr = 575.110170000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(0.34373063) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941503991029994 × 6371000     		do = 575.119106346868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(0.34364036) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941534408349337 × 6371000     		du = 575.137686811406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34373063)-sin(0.34364036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941503991029994-0.941534408349337)×R²
    abs(0.57879013-0.57869425)×3.04173193431678e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04173193431678e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04173193431678e-05×40589641000000     		ar = 330762.190153202m²