Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38804 / 29055
↖ ↑ ↗
← N 19.978511°
E 33.156738°		 ← 574.09 m → N 19.978511°
E 33.162232°		 →
↑
574.03 m
↓
↑
574.03 m
↓
N 19.973349°
E 33.156738°		 ← 574.11 m →
329 549 m²		 N 19.973349°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592109680175781 y=0.443351745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592109680175781 × 216)
    floor (0.592109680175781 × 65536)
    floor (38804.5)     		tx = 38804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443351745605469 × 216)
    floor (0.443351745605469 × 65536)
    floor (29055.5)     		ty = 29055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38804 / 29055 ti = "16/38804/29055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38804/29055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38804 ÷ 216
    38804 ÷ 65536     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29055 ÷ 216
    29055 ÷ 65536     		y = 0.443344116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443344116210938 × 2 - 1) × π
    0.113311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355979416578537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355979416578537))-π/2
    2×atan(1.42757816351842)-π/2
    2×0.95974356571061-π/2
    1.91948713142122-1.57079632675     		φ = 0.34869080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34869080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.978511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38804 KachelY 29055 0.57869425 0.34869080 33.156738 19.978511
    Oben rechts KachelX + 1 38805 KachelY 29055 0.57879013 0.34869080 33.162232 19.978511
    Unten links KachelX 38804 KachelY + 1 29056 0.57869425 0.34860070 33.156738 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 38805 KachelY + 1 29056 0.57879013 0.34860070 33.162232 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34869080-0.34860070) × R
    9.01000000000374e-05 × 6371000     		dl = 574.027100000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34869080-0.34860070) × R
    9.01000000000374e-05 × 6371000     		dr = 574.027100000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(0.34869080) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939820829484178 × 6371000     		do = 574.090944625526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(0.34860070) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 574.109746905199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34869080)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939820829484178-0.939851609928014)×R²
    abs(0.57879013-0.57869425)×3.07804438364201e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.07804438364201e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.07804438364201e-05×40589641000000     		ar = 329549.156811786m²