Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38804 / 29044
↖ ↑ ↗
← N 20.035290°
E 33.156738°		 ← 573.88 m → N 20.035290°
E 33.162232°		 →
↑
573.84 m
↓
↑
573.84 m
↓
N 20.030129°
E 33.156738°		 ← 573.90 m →
329 321 m²		 N 20.030129°
E 33.162232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592109680175781 y=0.443183898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592109680175781 × 216)
    floor (0.592109680175781 × 65536)
    floor (38804.5)     		tx = 38804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443183898925781 × 216)
    floor (0.443183898925781 × 65536)
    floor (29044.5)     		ty = 29044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38804 / 29044 ti = "16/38804/29044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38804/29044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38804 ÷ 216
    38804 ÷ 65536     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29044 ÷ 216
    29044 ÷ 65536     		y = 0.44317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    0.1136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.357034028370178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357034028370178))-π/2
    2×atan(1.42908449844283)-π/2
    2×0.960239049419676-π/2
    1.92047809883935-1.57079632675     		φ = 0.34968177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34968177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.035290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38804 KachelY 29044 0.57869425 0.34968177 33.156738 20.035290
    Oben rechts KachelX + 1 38805 KachelY 29044 0.57879013 0.34968177 33.162232 20.035290
    Unten links KachelX 38804 KachelY + 1 29045 0.57869425 0.34959170 33.156738 20.030129
    Unten rechts KachelX + 1 38805 KachelY + 1 29045 0.57879013 0.34959170 33.162232 20.030129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34968177-0.34959170) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dl = 573.835969999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34968177-0.34959170) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dr = 573.835969999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(0.34968177) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.93948178564951 × 6371000     		do = 573.883839197334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57879013) × cos(0.34959170) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939512639717383 × 6371000     		du = 573.902686450358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34968177)-sin(0.34959170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93948178564951-0.939512639717383)×R²
    abs(0.57879013-0.57869425)×3.085406787251e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.085406787251e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.085406787251e-05×40589641000000     		ar = 329320.597371807m²