Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38801 / 42162
↖ ↑ ↗
← S 45.775186°
E 33.140259°		 ← 426.01 m → S 45.775186°
E 33.145752°		 →
↑
426.03 m
↓
↑
426.03 m
↓
S 45.779017°
E 33.140259°		 ← 425.98 m →
181 486 m²		 S 45.779017°
E 33.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592063903808594 y=0.643348693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592063903808594 × 216)
    floor (0.592063903808594 × 65536)
    floor (38801.5)     		tx = 38801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643348693847656 × 216)
    floor (0.643348693847656 × 65536)
    floor (42162.5)     		ty = 42162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38801 / 42162 ti = "16/38801/42162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38801/42162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38801 ÷ 216
    38801 ÷ 65536     		x = 0.592056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42162 ÷ 216
    42162 ÷ 65536     		y = 0.643341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    0.184112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57840663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.28668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.900638470061615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57840663} λ = 0.57840663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900638470061615))-π/2
    2×atan(0.406310160035106)-π/2
    2×0.385934306098496-π/2
    0.771868612196992-1.57079632675     		φ = -0.79892771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57840663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.140259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79892771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.775186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38801 KachelY 42162 0.57840663 -0.79892771 33.140259 -45.775186
    Oben rechts KachelX + 1 38802 KachelY 42162 0.57850250 -0.79892771 33.145752 -45.775186
    Unten links KachelX 38801 KachelY + 1 42163 0.57840663 -0.79899458 33.140259 -45.779017
    Unten rechts KachelX + 1 38802 KachelY + 1 42163 0.57850250 -0.79899458 33.145752 -45.779017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79892771--0.79899458) × R
    6.68700000000522e-05 × 6371000     		dl = 426.028770000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79892771--0.79899458) × R
    6.68700000000522e-05 × 6371000     		dr = 426.028770000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57840663-0.57850250) × cos(-0.79892771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697475522423784 × 6371000     		do = 426.009518970799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57840663-0.57850250) × cos(-0.79899458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697427601246855 × 6371000     		du = 425.980249302006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79892771)-sin(-0.79899458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697475522423784-0.697427601246855)×R²
    abs(0.57850250-0.57840663)×4.79211769287557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79211769287557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79211769287557e-05×40589641000000     		ar = 181486.076582626m²