Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38801 / 29043
↖ ↑ ↗
← N 20.040450°
E 33.140259°		 ← 573.81 m → N 20.040450°
E 33.145752°		 →
↑
573.84 m
↓
↑
573.84 m
↓
N 20.035290°
E 33.140259°		 ← 573.82 m →
329 275 m²		 N 20.035290°
E 33.145752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592063903808594 y=0.443168640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592063903808594 × 216)
    floor (0.592063903808594 × 65536)
    floor (38801.5)     		tx = 38801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443168640136719 × 216)
    floor (0.443168640136719 × 65536)
    floor (29043.5)     		ty = 29043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38801 / 29043 ti = "16/38801/29043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38801/29043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38801 ÷ 216
    38801 ÷ 65536     		x = 0.592056274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29043 ÷ 216
    29043 ÷ 65536     		y = 0.443161010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592056274414062 × 2 - 1) × π
    0.184112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57840663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443161010742188 × 2 - 1) × π
    0.113677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357129902169418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57840663} λ = 0.57840663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357129902169418))-π/2
    2×atan(1.42922151677126)-π/2
    2×0.960284084524014-π/2
    1.92056816904803-1.57079632675     		φ = 0.34977184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57840663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.140259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34977184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.040450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38801 KachelY 29043 0.57840663 0.34977184 33.140259 20.040450
    Oben rechts KachelX + 1 38802 KachelY 29043 0.57850250 0.34977184 33.145752 20.040450
    Unten links KachelX 38801 KachelY + 1 29044 0.57840663 0.34968177 33.140259 20.035290
    Unten rechts KachelX + 1 38802 KachelY + 1 29044 0.57850250 0.34968177 33.145752 20.035290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34977184-0.34968177) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dl = 573.835969999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34977184-0.34968177) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dr = 573.835969999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57840663-0.57850250) × cos(0.34977184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939450923959993 × 6371000     		do = 573.805134869951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57840663-0.57850250) × cos(0.34968177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93948178564951 × 6371000     		du = 573.82398481247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34977184)-sin(0.34968177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939450923959993-0.93948178564951)×R²
    abs(0.57850250-0.57840663)×3.08616895170477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08616895170477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08616895170477e-05×40589641000000     		ar = 329275.434769009m²