Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38800 / 41872
↖ ↑ ↗
← S 44.653024°
E 33.134766°		 ← 434.50 m → S 44.653024°
E 33.140259°		 →
↑
434.50 m
↓
↑
434.50 m
↓
S 44.656932°
E 33.134766°		 ← 434.47 m →
188 785 m²		 S 44.656932°
E 33.140259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592048645019531 y=0.638923645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592048645019531 × 216)
    floor (0.592048645019531 × 65536)
    floor (38800.5)     		tx = 38800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638923645019531 × 216)
    floor (0.638923645019531 × 65536)
    floor (41872.5)     		ty = 41872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38800 / 41872 ti = "16/38800/41872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38800/41872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38800 ÷ 216
    38800 ÷ 65536     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41872 ÷ 216
    41872 ÷ 65536     		y = 0.638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.27783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.872835068281982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872835068281982))-π/2
    2×atan(0.41776547509372)-π/2
    2×0.395727017125675-π/2
    0.79145403425135-1.57079632675     		φ = -0.77934229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77934229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.653024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38800 KachelY 41872 0.57831076 -0.77934229 33.134766 -44.653024
    Oben rechts KachelX + 1 38801 KachelY 41872 0.57840663 -0.77934229 33.140259 -44.653024
    Unten links KachelX 38800 KachelY + 1 41873 0.57831076 -0.77941049 33.134766 -44.656932
    Unten rechts KachelX + 1 38801 KachelY + 1 41873 0.57840663 -0.77941049 33.140259 -44.656932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77934229--0.77941049) × R
    6.81999999999627e-05 × 6371000     		dl = 434.502199999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77934229--0.77941049) × R
    6.81999999999627e-05 × 6371000     		dr = 434.502199999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57840663) × cos(-0.77934229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711375938121379 × 6371000     		do = 434.499722876805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57840663) × cos(-0.77941049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711328004709619 × 6371000     		du = 434.470445735128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77934229)-sin(-0.77941049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711375938121379-0.711328004709619)×R²
    abs(0.57840663-0.57831076)×4.79334117594599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79334117594599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79334117594599e-05×40589641000000     		ar = 188784.725071041m²