Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38800 / 29040
↖ ↑ ↗
← N 20.055932°
E 33.134766°		 ← 573.75 m → N 20.055932°
E 33.140259°		 →
↑
573.84 m
↓
↑
573.84 m
↓
N 20.050771°
E 33.134766°		 ← 573.77 m →
329 243 m²		 N 20.050771°
E 33.140259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592048645019531 y=0.443122863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592048645019531 × 216)
    floor (0.592048645019531 × 65536)
    floor (38800.5)     		tx = 38800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443122863769531 × 216)
    floor (0.443122863769531 × 65536)
    floor (29040.5)     		ty = 29040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38800 / 29040 ti = "16/38800/29040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38800/29040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38800 ÷ 216
    38800 ÷ 65536     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29040 ÷ 216
    29040 ÷ 65536     		y = 0.443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    0.11376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.357417523567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357417523567139))-π/2
    2×atan(1.42963265058417)-π/2
    2×0.960419180958308-π/2
    1.92083836191662-1.57079632675     		φ = 0.35004204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35004204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.055932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38800 KachelY 29040 0.57831076 0.35004204 33.134766 20.055932
    Oben rechts KachelX + 1 38801 KachelY 29040 0.57840663 0.35004204 33.140259 20.055932
    Unten links KachelX 38800 KachelY + 1 29041 0.57831076 0.34995197 33.134766 20.050771
    Unten rechts KachelX + 1 38801 KachelY + 1 29041 0.57840663 0.34995197 33.140259 20.050771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35004204-0.34995197) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dl = 573.835969999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35004204-0.34995197) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dr = 573.835969999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57840663) × cos(0.35004204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939358296593452 × 6371000     		do = 573.748559207301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57840663) × cos(0.34995197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939389181145554 × 6371000     		du = 573.767423114006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35004204)-sin(0.34995197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939358296593452-0.939389181145554)×R²
    abs(0.57840663-0.57831076)×3.0884552101984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0884552101984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0884552101984e-05×40589641000000     		ar = 329242.973625623m²