Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3880 / 4660
↖ ↑ ↗
← S 24.046464°
W  9.492188°		 ← 4 462.48 m → S 24.046464°
W  9.448242°		 →
↑
4 461.74 m
↓
↑
4 461.74 m
↓
S 24.086589°
W  9.492188°		 ← 4 461.08 m →
19 907 301 m²		 S 24.086589°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47369384765625 y=0.56890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47369384765625 × 213)
    floor (0.47369384765625 × 8192)
    floor (3880.5)     		tx = 3880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56890869140625 × 213)
    floor (0.56890869140625 × 8192)
    floor (4660.5)     		ty = 4660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3880 / 4660 ti = "13/3880/4660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3880/4660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3880 ÷ 213
    3880 ÷ 8192     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4660 ÷ 213
    4660 ÷ 8192     		y = 0.56884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.432582582171387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.432582582171387))-π/2
    2×atan(0.648831269026878)-π/2
    2×0.575553178274861-π/2
    1.15110635654972-1.57079632675     		φ = -0.41968997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41968997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.046464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3880 KachelY 4660 -0.16566993 -0.41968997 -9.492188 -24.046464
    Oben rechts KachelX + 1 3881 KachelY 4660 -0.16490293 -0.41968997 -9.448242 -24.046464
    Unten links KachelX 3880 KachelY + 1 4661 -0.16566993 -0.42039029 -9.492188 -24.086589
    Unten rechts KachelX + 1 3881 KachelY + 1 4661 -0.16490293 -0.42039029 -9.448242 -24.086589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41968997--0.42039029) × R
    0.000700319999999977 × 6371000     		dl = 4461.73871999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41968997--0.42039029) × R
    0.000700319999999977 × 6371000     		dr = 4461.73871999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16490293) × cos(-0.41968997) × R
    0.00076699999999999 × 0.91321531440113 × 6371000     		do = 4462.47868709398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16490293) × cos(-0.42039029) × R
    0.00076699999999999 × 0.912929725945402 × 6371000     		du = 4461.08314282653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41968997)-sin(-0.42039029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91321531440113-0.912929725945402)×R²
    abs(-0.16490293--0.16566993)×0.00028558845572757×R²
    0.00076699999999999×0.00028558845572757×6371000²
    0.00076699999999999×0.00028558845572757×40589641000000     		ar = 19907301.4820595m²