Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 388 / 564
↖ ↑ ↗
← N 62.593341°
W111.796875°		 ← 8 997.07 m → N 62.593341°
W111.621094°		 →
↑
9 009.36 m
↓
↑
9 009.36 m
↓
N 62.512318°
W111.796875°		 ← 9 021.60 m →
81 168 333 m²		 N 62.512318°
W111.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189697265625 y=0.275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189697265625 × 211)
    floor (0.189697265625 × 2048)
    floor (388.5)     		tx = 388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275634765625 × 211)
    floor (0.275634765625 × 2048)
    floor (564.5)     		ty = 564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 388 / 564 ti = "11/388/564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/388/564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 388 ÷ 211
    388 ÷ 2048     		x = 0.189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 564 ÷ 211
    564 ÷ 2048     		y = 0.275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.189453125 × 2 - 1) × π
    -0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275390625 × 2 - 1) × π
    0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95122356} λ = -1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41126232481445))-π/2
    2×atan(4.10112909496882)-π/2
    2×1.33162810704246-π/2
    2.66325621408493-1.57079632675     		φ = 1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 388 KachelY 564 -1.95122356 1.09245989 -111.796875 62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 389 KachelY 564 -1.94815560 1.09245989 -111.621094 62.593341
    Unten links KachelX 388 KachelY + 1 565 -1.95122356 1.09104577 -111.796875 62.512318
    Unten rechts KachelX + 1 389 KachelY + 1 565 -1.94815560 1.09104577 -111.621094 62.512318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09245989-1.09104577) × R
    0.00141411999999996 × 6371000     		dl = 9009.35851999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09245989-1.09104577) × R
    0.00141411999999996 × 6371000     		dr = 9009.35851999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95122356--1.94815560) × cos(1.09245989) × R
    0.00306796000000009 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 8997.06940193695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95122356--1.94815560) × cos(1.09104577) × R
    0.00306796000000009 × 0.461557906320937 × 6371000     		du = 9021.5984487351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09245989)-sin(1.09104577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.461557906320937)×R²
    abs(-1.94815560--1.95122356)×0.0012549411890293×R²
    0.00306796000000009×0.0012549411890293×6371000²
    0.00306796000000009×0.0012549411890293×40589641000000     		ar = 81168332.8860139m²