Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 388 / 455
↖ ↑ ↗
← N 19.642588°
W 43.593750°		 ← 36.817 km → N 19.642588°
W 43.242188°		 →
↑
36.855 km
↓
↑
36.855 km
↓
N 19.311143°
W 43.593750°		 ← 36.893 km →
1 358.29 km²		 N 19.311143°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37939453125 y=0.44482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37939453125 × 210)
    floor (0.37939453125 × 1024)
    floor (388.5)     		tx = 388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44482421875 × 210)
    floor (0.44482421875 × 1024)
    floor (455.5)     		ty = 455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 388 / 455 ti = "10/388/455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/388/455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 388 ÷ 210
    388 ÷ 1024     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 455 ÷ 210
    455 ÷ 1024     		y = 0.4443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.34974761962793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34974761962793))-π/2
    2×atan(1.41870944898791)-π/2
    2×0.956812076432601-π/2
    1.9136241528652-1.57079632675     		φ = 0.34282783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34282783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.642588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 388 KachelY 455 -0.76085447 0.34282783 -43.593750 19.642588
    Oben rechts KachelX + 1 389 KachelY 455 -0.75471855 0.34282783 -43.242188 19.642588
    Unten links KachelX 388 KachelY + 1 456 -0.76085447 0.33704303 -43.593750 19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 389 KachelY + 1 456 -0.75471855 0.33704303 -43.242188 19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34282783-0.33704303) × R
    0.00578479999999998 × 6371000     		dl = 36854.9607999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34282783-0.33704303) × R
    0.00578479999999998 × 6371000     		dr = 36854.9607999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.75471855) × cos(0.34282783) × R
    0.00613591999999996 × 0.941807852557362 × 6371000     		do = 36817.1020159266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.75471855) × cos(0.33704303) × R
    0.00613591999999996 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 36892.5026126209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34282783)-sin(0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941807852557362-0.94373665385257)×R²
    abs(-0.75471855--0.76085447)×0.00192880129520845×R²
    0.00613591999999996×0.00192880129520845×6371000²
    0.00613591999999996×0.00192880129520845×40589641000000     		ar = 1358286082.38348m²