Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38799 / 41871
↖ ↑ ↗
← S 44.649116°
E 33.129272°		 ← 434.57 m → S 44.649116°
E 33.134766°		 →
↑
434.50 m
↓
↑
434.50 m
↓
S 44.653024°
E 33.129272°		 ← 434.55 m →
188 817 m²		 S 44.653024°
E 33.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592033386230469 y=0.638908386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592033386230469 × 216)
    floor (0.592033386230469 × 65536)
    floor (38799.5)     		tx = 38799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638908386230469 × 216)
    floor (0.638908386230469 × 65536)
    floor (41871.5)     		ty = 41871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38799 / 41871 ti = "16/38799/41871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38799/41871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38799 ÷ 216
    38799 ÷ 65536     		x = 0.592025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41871 ÷ 216
    41871 ÷ 65536     		y = 0.638900756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592025756835938 × 2 - 1) × π
    0.184051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57821488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638900756835938 × 2 - 1) × π
    -0.277801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.872739194482742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57821488} λ = 0.57821488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872739194482742))-π/2
    2×atan(0.417805529777075)-π/2
    2×0.395761119431415-π/2
    0.791522238862831-1.57079632675     		φ = -0.77927409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57821488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.129272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77927409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.649116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38799 KachelY 41871 0.57821488 -0.77927409 33.129272 -44.649116
    Oben rechts KachelX + 1 38800 KachelY 41871 0.57831076 -0.77927409 33.134766 -44.649116
    Unten links KachelX 38799 KachelY + 1 41872 0.57821488 -0.77934229 33.129272 -44.653024
    Unten rechts KachelX + 1 38800 KachelY + 1 41872 0.57831076 -0.77934229 33.134766 -44.653024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77927409--0.77934229) × R
    6.81999999999627e-05 × 6371000     		dl = 434.502199999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77927409--0.77934229) × R
    6.81999999999627e-05 × 6371000     		dr = 434.502199999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57821488-0.57831076) × cos(-0.77927409) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.711423868224358 × 6371000     		do = 434.574322812392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57821488-0.57831076) × cos(-0.77934229) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.711375938121379 × 6371000     		du = 434.545044638051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77927409)-sin(-0.77934229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711423868224358-0.711375938121379)×R²
    abs(0.57831076-0.57821488)×4.79301029792101e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79301029792101e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79301029792101e-05×40589641000000     		ar = 188817.138683418m²