Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38799 / 29038
↖ ↑ ↗
← N 20.066251°
E 33.129272°		 ← 573.77 m → N 20.066251°
E 33.134766°		 →
↑
573.77 m
↓
↑
573.77 m
↓
N 20.061091°
E 33.129272°		 ← 573.79 m →
329 219 m²		 N 20.061091°
E 33.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592033386230469 y=0.443092346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592033386230469 × 216)
    floor (0.592033386230469 × 65536)
    floor (38799.5)     		tx = 38799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443092346191406 × 216)
    floor (0.443092346191406 × 65536)
    floor (29038.5)     		ty = 29038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38799 / 29038 ti = "16/38799/29038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38799/29038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38799 ÷ 216
    38799 ÷ 65536     		x = 0.592025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29038 ÷ 216
    29038 ÷ 65536     		y = 0.443084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592025756835938 × 2 - 1) × π
    0.184051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57821488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443084716796875 × 2 - 1) × π
    0.11383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357609271165619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57821488} λ = 0.57821488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357609271165619))-π/2
    2×atan(1.42990680549506)-π/2
    2×0.960509237845737-π/2
    1.92101847569147-1.57079632675     		φ = 0.35022215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57821488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.129272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35022215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.066251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38799 KachelY 29038 0.57821488 0.35022215 33.129272 20.066251
    Oben rechts KachelX + 1 38800 KachelY 29038 0.57831076 0.35022215 33.134766 20.066251
    Unten links KachelX 38799 KachelY + 1 29039 0.57821488 0.35013209 33.129272 20.061091
    Unten rechts KachelX + 1 38800 KachelY + 1 29039 0.57831076 0.35013209 33.134766 20.061091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35022215-0.35013209) × R
    9.00600000000029e-05 × 6371000     		dl = 573.772260000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35022215-0.35013209) × R
    9.00600000000029e-05 × 6371000     		dr = 573.772260000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57821488-0.57831076) × cos(0.35022215) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939296514920765 × 6371000     		do = 573.77066629848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57821488-0.57831076) × cos(0.35013209) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939327411281145 × 6371000     		du = 573.789539385944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35022215)-sin(0.35013209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939296514920765-0.939327411281145)×R²
    abs(0.57831076-0.57821488)×3.08963603800061e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.08963603800061e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.08963603800061e-05×40589641000000     		ar = 329219.10657335m²