Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38799 / 28686
↖ ↑ ↗
← N 21.871694°
E 33.129272°		 ← 566.88 m → N 21.871694°
E 33.134766°		 →
↑
566.83 m
↓
↑
566.83 m
↓
N 21.866597°
E 33.129272°		 ← 566.90 m →
321 331 m²		 N 21.866597°
E 33.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592033386230469 y=0.437721252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592033386230469 × 216)
    floor (0.592033386230469 × 65536)
    floor (38799.5)     		tx = 38799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437721252441406 × 216)
    floor (0.437721252441406 × 65536)
    floor (28686.5)     		ty = 28686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38799 / 28686 ti = "16/38799/28686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38799/28686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38799 ÷ 216
    38799 ÷ 65536     		x = 0.592025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28686 ÷ 216
    28686 ÷ 65536     		y = 0.437713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592025756835938 × 2 - 1) × π
    0.184051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57821488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    0.12457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.391356848498138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57821488} λ = 0.57821488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391356848498138))-π/2
    2×atan(1.4789861932585)-π/2
    2×0.976264705579268-π/2
    1.95252941115854-1.57079632675     		φ = 0.38173308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57821488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.129272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38173308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.871694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38799 KachelY 28686 0.57821488 0.38173308 33.129272 21.871694
    Oben rechts KachelX + 1 38800 KachelY 28686 0.57831076 0.38173308 33.134766 21.871694
    Unten links KachelX 38799 KachelY + 1 28687 0.57821488 0.38164411 33.129272 21.866597
    Unten rechts KachelX + 1 38800 KachelY + 1 28687 0.57831076 0.38164411 33.134766 21.866597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38173308-0.38164411) × R
    8.89700000000215e-05 × 6371000     		dl = 566.827870000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38173308-0.38164411) × R
    8.89700000000215e-05 × 6371000     		dr = 566.827870000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57821488-0.57831076) × cos(0.38173308) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928020406398633 × 6371000     		do = 566.882638719091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57821488-0.57831076) × cos(0.38164411) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.92805354666295 × 6371000     		du = 566.902882498597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38173308)-sin(0.38164411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928020406398633-0.92805354666295)×R²
    abs(0.57831076-0.57821488)×3.31402643167777e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.31402643167777e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.31402643167777e-05×40589641000000     		ar = 321330.616226287m²