Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38798 / 41874
↖ ↑ ↗
← S 44.660839°
E 33.123779°		 ← 434.44 m → S 44.660839°
E 33.129272°		 →
↑
434.44 m
↓
↑
434.44 m
↓
S 44.664746°
E 33.123779°		 ← 434.41 m →
188 732 m²		 S 44.664746°
E 33.129272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592018127441406 y=0.638954162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592018127441406 × 216)
    floor (0.592018127441406 × 65536)
    floor (38798.5)     		tx = 38798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638954162597656 × 216)
    floor (0.638954162597656 × 65536)
    floor (41874.5)     		ty = 41874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38798 / 41874 ti = "16/38798/41874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38798/41874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38798 ÷ 216
    38798 ÷ 65536     		x = 0.592010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41874 ÷ 216
    41874 ÷ 65536     		y = 0.638946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592010498046875 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57811901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.27789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.873026815880463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57811901} λ = 0.57811901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873026815880463))-π/2
    2×atan(0.417685377246673)-π/2
    2×0.395658819407531-π/2
    0.791317638815062-1.57079632675     		φ = -0.77947869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57811901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.123779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77947869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.660839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38798 KachelY 41874 0.57811901 -0.77947869 33.123779 -44.660839
    Oben rechts KachelX + 1 38799 KachelY 41874 0.57821488 -0.77947869 33.129272 -44.660839
    Unten links KachelX 38798 KachelY + 1 41875 0.57811901 -0.77954688 33.123779 -44.664746
    Unten rechts KachelX + 1 38799 KachelY + 1 41875 0.57821488 -0.77954688 33.129272 -44.664746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77947869--0.77954688) × R
    6.81900000000235e-05 × 6371000     		dl = 434.43849000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77947869--0.77954688) × R
    6.81900000000235e-05 × 6371000     		dr = 434.43849000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57811901-0.57821488) × cos(-0.77947869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711280067989302 × 6371000     		do = 434.441166572625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57811901-0.57821488) × cos(-0.77954688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711232134990223 × 6371000     		du = 434.411889683008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77947869)-sin(-0.77954688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711280067989302-0.711232134990223)×R²
    abs(0.57821488-0.57811901)×4.79329990787924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79329990787924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79329990787924e-05×40589641000000     		ar = 188731.604969043m²