Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38798 / 30122
↖ ↑ ↗
← N 14.381476°
E 33.123779°		 ← 591.65 m → N 14.381476°
E 33.129272°		 →
↑
591.67 m
↓
↑
591.67 m
↓
N 14.376155°
E 33.123779°		 ← 591.66 m →
350 067 m²		 N 14.376155°
E 33.129272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592018127441406 y=0.459632873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592018127441406 × 216)
    floor (0.592018127441406 × 65536)
    floor (38798.5)     		tx = 38798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459632873535156 × 216)
    floor (0.459632873535156 × 65536)
    floor (30122.5)     		ty = 30122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38798 / 30122 ti = "16/38798/30122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38798/30122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38798 ÷ 216
    38798 ÷ 65536     		x = 0.592010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30122 ÷ 216
    30122 ÷ 65536     		y = 0.459625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592010498046875 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57811901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    0.08074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57811901} λ = 0.57811901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253682072789337))-π/2
    2×atan(1.28876200661837)-π/2
    2×0.910900219602701-π/2
    1.8218004392054-1.57079632675     		φ = 0.25100411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57811901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.123779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25100411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.381476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38798 KachelY 30122 0.57811901 0.25100411 33.123779 14.381476
    Oben rechts KachelX + 1 38799 KachelY 30122 0.57821488 0.25100411 33.129272 14.381476
    Unten links KachelX 38798 KachelY + 1 30123 0.57811901 0.25091124 33.123779 14.376155
    Unten rechts KachelX + 1 38799 KachelY + 1 30123 0.57821488 0.25091124 33.129272 14.376155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25100411-0.25091124) × R
    9.28700000000227e-05 × 6371000     		dl = 591.674770000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25100411-0.25091124) × R
    9.28700000000227e-05 × 6371000     		dr = 591.674770000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57811901-0.57821488) × cos(0.25100411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968663512516279 × 6371000     		do = 591.647826690172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57811901-0.57821488) × cos(0.25091124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968686575085788 × 6371000     		du = 591.661913025573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25100411)-sin(0.25091124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968663512516279-0.968686575085788)×R²
    abs(0.57821488-0.57811901)×2.30625695086806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.30625695086806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.30625695086806e-05×40589641000000     		ar = 350067.259294268m²