Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38798 / 28554
↖ ↑ ↗
← N 22.543001°
E 33.123779°		 ← 564.12 m → N 22.543001°
E 33.129272°		 →
↑
564.15 m
↓
↑
564.15 m
↓
N 22.537927°
E 33.123779°		 ← 564.14 m →
318 255 m²		 N 22.537927°
E 33.129272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592018127441406 y=0.435707092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592018127441406 × 216)
    floor (0.592018127441406 × 65536)
    floor (38798.5)     		tx = 38798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435707092285156 × 216)
    floor (0.435707092285156 × 65536)
    floor (28554.5)     		ty = 28554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38798 / 28554 ti = "16/38798/28554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38798/28554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38798 ÷ 216
    38798 ÷ 65536     		x = 0.592010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28554 ÷ 216
    28554 ÷ 65536     		y = 0.435699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592010498046875 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57811901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435699462890625 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.404012189997833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57811901} λ = 0.57811901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404012189997833))-π/2
    2×atan(1.49782220529629)-π/2
    2×0.982122958459915-π/2
    1.96424591691983-1.57079632675     		φ = 0.39344959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57811901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.123779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39344959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.543001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38798 KachelY 28554 0.57811901 0.39344959 33.123779 22.543001
    Oben rechts KachelX + 1 38799 KachelY 28554 0.57821488 0.39344959 33.129272 22.543001
    Unten links KachelX 38798 KachelY + 1 28555 0.57811901 0.39336104 33.123779 22.537927
    Unten rechts KachelX + 1 38799 KachelY + 1 28555 0.57821488 0.39336104 33.129272 22.537927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39344959-0.39336104) × R
    8.85500000000206e-05 × 6371000     		dl = 564.152050000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39344959-0.39336104) × R
    8.85500000000206e-05 × 6371000     		dr = 564.152050000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57811901-0.57821488) × cos(0.39344959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923592065252066 × 6371000     		do = 564.118737924991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57811901-0.57821488) × cos(0.39336104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923626009638151 × 6371000     		du = 564.139470740873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39344959)-sin(0.39336104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923592065252066-0.923626009638151)×R²
    abs(0.57821488-0.57811901)×3.39443860855049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39443860855049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39443860855049e-05×40589641000000     		ar = 318254.590881955m²