Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38797 / 29047
↖ ↑ ↗
← N 20.019807°
E 33.118286°		 ← 573.88 m → N 20.019807°
E 33.123779°		 →
↑
573.90 m
↓
↑
573.90 m
↓
N 20.014645°
E 33.118286°		 ← 573.90 m →
329 355 m²		 N 20.014645°
E 33.123779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592002868652344 y=0.443229675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592002868652344 × 216)
    floor (0.592002868652344 × 65536)
    floor (38797.5)     		tx = 38797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443229675292969 × 216)
    floor (0.443229675292969 × 65536)
    floor (29047.5)     		ty = 29047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38797 / 29047 ti = "16/38797/29047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38797/29047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38797 ÷ 216
    38797 ÷ 65536     		x = 0.591995239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29047 ÷ 216
    29047 ÷ 65536     		y = 0.443222045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591995239257812 × 2 - 1) × π
    0.183990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57802314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443222045898438 × 2 - 1) × π
    0.113555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.356746406972458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57802314} λ = 0.57802314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356746406972458))-π/2
    2×atan(1.42867352226753)-π/2
    2×0.960103935232378-π/2
    1.92020787046476-1.57079632675     		φ = 0.34941154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57802314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.118286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34941154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.019807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38797 KachelY 29047 0.57802314 0.34941154 33.118286 20.019807
    Oben rechts KachelX + 1 38798 KachelY 29047 0.57811901 0.34941154 33.123779 20.019807
    Unten links KachelX 38797 KachelY + 1 29048 0.57802314 0.34932146 33.118286 20.014645
    Unten rechts KachelX + 1 38798 KachelY + 1 29048 0.57811901 0.34932146 33.123779 20.014645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34941154-0.34932146) × R
    9.00800000000479e-05 × 6371000     		dl = 573.899680000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34941154-0.34932146) × R
    9.00800000000479e-05 × 6371000     		dr = 573.899680000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57802314-0.57811901) × cos(0.34941154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939574331834093 × 6371000     		do = 573.880510890173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57802314-0.57811901) × cos(0.34932146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939605166456441 × 6371000     		du = 573.899344300396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34941154)-sin(0.34932146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939574331834093-0.939605166456441)×R²
    abs(0.57811901-0.57802314)×3.08346223479861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08346223479861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08346223479861e-05×40589641000000     		ar = 329355.246025177m²