Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38796 / 28755
↖ ↑ ↗
← N 21.519517°
E 33.112793°		 ← 568.27 m → N 21.519517°
E 33.118286°		 →
↑
568.29 m
↓
↑
568.29 m
↓
N 21.514406°
E 33.112793°		 ← 568.29 m →
322 950 m²		 N 21.514406°
E 33.118286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591987609863281 y=0.438774108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591987609863281 × 216)
    floor (0.591987609863281 × 65536)
    floor (38796.5)     		tx = 38796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438774108886719 × 216)
    floor (0.438774108886719 × 65536)
    floor (28755.5)     		ty = 28755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38796 / 28755 ti = "16/38796/28755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38796/28755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38796 ÷ 216
    38796 ÷ 65536     		x = 0.59197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28755 ÷ 216
    28755 ÷ 65536     		y = 0.438766479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59197998046875 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57792726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438766479492188 × 2 - 1) × π
    0.122467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.384741556350571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57792726} λ = 0.57792726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384741556350571))-π/2
    2×atan(1.46923455802849)-π/2
    2×0.973191376461662-π/2
    1.94638275292332-1.57079632675     		φ = 0.37558643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57792726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.112793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37558643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.519517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38796 KachelY 28755 0.57792726 0.37558643 33.112793 21.519517
    Oben rechts KachelX + 1 38797 KachelY 28755 0.57802314 0.37558643 33.118286 21.519517
    Unten links KachelX 38796 KachelY + 1 28756 0.57792726 0.37549723 33.112793 21.514406
    Unten rechts KachelX + 1 38797 KachelY + 1 28756 0.57802314 0.37549723 33.118286 21.514406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37558643-0.37549723) × R
    8.92000000000115e-05 × 6371000     		dl = 568.293200000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37558643-0.37549723) × R
    8.92000000000115e-05 × 6371000     		dr = 568.293200000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57792726-0.57802314) × cos(0.37558643) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930292668724545 × 6371000     		do = 568.270653523165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57792726-0.57802314) × cos(0.37549723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930325385201914 × 6371000     		du = 568.290638431787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37558643)-sin(0.37549723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930292668724545-0.930325385201914)×R²
    abs(0.57802314-0.57792726)×3.27164773690214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27164773690214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27164773690214e-05×40589641000000     		ar = 322950.02701478m²