Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38795 / 28744
↖ ↑ ↗
← N 21.575719°
E 33.107300°		 ← 567.99 m → N 21.575719°
E 33.112793°		 →
↑
567.97 m
↓
↑
567.97 m
↓
N 21.570611°
E 33.107300°		 ← 568.01 m →
322 610 m²		 N 21.570611°
E 33.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591972351074219 y=0.438606262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591972351074219 × 216)
    floor (0.591972351074219 × 65536)
    floor (38795.5)     		tx = 38795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438606262207031 × 216)
    floor (0.438606262207031 × 65536)
    floor (28744.5)     		ty = 28744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38795 / 28744 ti = "16/38795/28744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38795/28744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38795 ÷ 216
    38795 ÷ 65536     		x = 0.591964721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28744 ÷ 216
    28744 ÷ 65536     		y = 0.4385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591964721679688 × 2 - 1) × π
    0.183929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57783139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    0.122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.385796168142212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57783139} λ = 0.57783139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385796168142212))-π/2
    2×atan(1.47078484745114)-π/2
    2×0.973681830320459-π/2
    1.94736366064092-1.57079632675     		φ = 0.37656733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57783139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.107300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37656733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.575719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38795 KachelY 28744 0.57783139 0.37656733 33.107300 21.575719
    Oben rechts KachelX + 1 38796 KachelY 28744 0.57792726 0.37656733 33.112793 21.575719
    Unten links KachelX 38795 KachelY + 1 28745 0.57783139 0.37647818 33.107300 21.570611
    Unten rechts KachelX + 1 38796 KachelY + 1 28745 0.57792726 0.37647818 33.112793 21.570611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37656733-0.37647818) × R
    8.91499999999823e-05 × 6371000     		dl = 567.974649999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37656733-0.37647818) × R
    8.91499999999823e-05 × 6371000     		dr = 567.974649999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57783139-0.57792726) × cos(0.37656733) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.929932409317731 × 6371000     		do = 567.99134253855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57783139-0.57792726) × cos(0.37647818) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.929965188795549 × 6371000     		du = 568.011363842708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37656733)-sin(0.37647818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929932409317731-0.929965188795549)×R²
    abs(0.57792726-0.57783139)×3.27794778176571e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.27794778176571e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.27794778176571e-05×40589641000000     		ar = 322610.369991574m²