Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38793 / 30103
↖ ↑ ↗
← N 14.482553°
E 33.096313°		 ← 591.38 m → N 14.482553°
E 33.101806°		 →
↑
591.42 m
↓
↑
591.42 m
↓
N 14.477234°
E 33.096313°		 ← 591.39 m →
349 758 m²		 N 14.477234°
E 33.101806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591941833496094 y=0.459342956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591941833496094 × 216)
    floor (0.591941833496094 × 65536)
    floor (38793.5)     		tx = 38793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459342956542969 × 216)
    floor (0.459342956542969 × 65536)
    floor (30103.5)     		ty = 30103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38793 / 30103 ti = "16/38793/30103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38793/30103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38793 ÷ 216
    38793 ÷ 65536     		x = 0.591934204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30103 ÷ 216
    30103 ÷ 65536     		y = 0.459335327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591934204101562 × 2 - 1) × π
    0.183868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57763964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459335327148438 × 2 - 1) × π
    0.081329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.255503674974899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57763964} λ = 0.57763964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.255503674974899))-π/2
    2×atan(1.2911117578125)-π/2
    2×0.91178227937403-π/2
    1.82356455874806-1.57079632675     		φ = 0.25276823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57763964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.096313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25276823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.482553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38793 KachelY 30103 0.57763964 0.25276823 33.096313 14.482553
    Oben rechts KachelX + 1 38794 KachelY 30103 0.57773551 0.25276823 33.101806 14.482553
    Unten links KachelX 38793 KachelY + 1 30104 0.57763964 0.25267540 33.096313 14.477234
    Unten rechts KachelX + 1 38794 KachelY + 1 30104 0.57773551 0.25267540 33.101806 14.477234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25276823-0.25267540) × R
    9.28299999999882e-05 × 6371000     		dl = 591.419929999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25276823-0.25267540) × R
    9.28299999999882e-05 × 6371000     		dr = 591.419929999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57763964-0.57773551) × cos(0.25276823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968223839090496 × 6371000     		do = 591.37927953891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57763964-0.57773551) × cos(0.25267540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968247050325962 × 6371000     		du = 591.393456677659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25276823)-sin(0.25267540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968223839090496-0.968247050325962)×R²
    abs(0.57773551-0.57763964)×2.32112354655589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32112354655589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32112354655589e-05×40589641000000     		ar = 349757.684680614m²