Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38792 / 29000
↖ ↑ ↗
← N 20.262197°
E 33.090821°		 ← 572.99 m → N 20.262197°
E 33.096313°		 →
↑
573.01 m
↓
↑
573.01 m
↓
N 20.257044°
E 33.090821°		 ← 573.01 m →
328 334 m²		 N 20.257044°
E 33.096313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591926574707031 y=0.442512512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591926574707031 × 216)
    floor (0.591926574707031 × 65536)
    floor (38792.5)     		tx = 38792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442512512207031 × 216)
    floor (0.442512512207031 × 65536)
    floor (29000.5)     		ty = 29000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38792 / 29000 ti = "16/38792/29000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38792/29000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38792 ÷ 216
    38792 ÷ 65536     		x = 0.5919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29000 ÷ 216
    29000 ÷ 65536     		y = 0.4425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5919189453125 × 2 - 1) × π
    0.183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57754377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.361252475536743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57754377} λ = 0.57754377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361252475536743))-π/2
    2×atan(1.435125749286)-π/2
    2×0.962219190145719-π/2
    1.92443838029144-1.57079632675     		φ = 0.35364205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57754377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.090821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35364205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.262197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38792 KachelY 29000 0.57754377 0.35364205 33.090821 20.262197
    Oben rechts KachelX + 1 38793 KachelY 29000 0.57763964 0.35364205 33.096313 20.262197
    Unten links KachelX 38792 KachelY + 1 29001 0.57754377 0.35355211 33.090821 20.257044
    Unten rechts KachelX + 1 38793 KachelY + 1 29001 0.57763964 0.35355211 33.096313 20.257044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35364205-0.35355211) × R
    8.99400000000106e-05 × 6371000     		dl = 573.007740000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35364205-0.35355211) × R
    8.99400000000106e-05 × 6371000     		dr = 573.007740000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57754377-0.57763964) × cos(0.35364205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938117634487603 × 6371000     		do = 572.990777966345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57754377-0.57763964) × cos(0.35355211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		du = 573.009800301422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35364205)-sin(0.35355211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938117634487603-0.938148778423371)×R²
    abs(0.57763964-0.57754377)×3.11439357681964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11439357681964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11439357681964e-05×40589641000000     		ar = 328333.600917389m²