Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38790 / 29070
↖ ↑ ↗
← N 19.901054°
E 33.079834°		 ← 574.31 m → N 19.901054°
E 33.085327°		 →
↑
574.35 m
↓
↑
574.35 m
↓
N 19.895888°
E 33.079834°		 ← 574.33 m →
329 859 m²		 N 19.895888°
E 33.085327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591896057128906 y=0.443580627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591896057128906 × 216)
    floor (0.591896057128906 × 65536)
    floor (38790.5)     		tx = 38790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443580627441406 × 216)
    floor (0.443580627441406 × 65536)
    floor (29070.5)     		ty = 29070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38790 / 29070 ti = "16/38790/29070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38790/29070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38790 ÷ 216
    38790 ÷ 65536     		x = 0.591888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29070 ÷ 216
    29070 ÷ 65536     		y = 0.443572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591888427734375 × 2 - 1) × π
    0.18377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57735202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443572998046875 × 2 - 1) × π
    0.11285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.354541309589935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57735202} λ = 0.57735202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354541309589935))-π/2
    2×atan(1.42552662890139)-π/2
    2×0.95906761841477-π/2
    1.91813523682954-1.57079632675     		φ = 0.34733891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57735202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.079834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34733891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.901054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38790 KachelY 29070 0.57735202 0.34733891 33.079834 19.901054
    Oben rechts KachelX + 1 38791 KachelY 29070 0.57744789 0.34733891 33.085327 19.901054
    Unten links KachelX 38790 KachelY + 1 29071 0.57735202 0.34724876 33.079834 19.895888
    Unten rechts KachelX + 1 38791 KachelY + 1 29071 0.57744789 0.34724876 33.085327 19.895888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34733891-0.34724876) × R
    9.01500000000111e-05 × 6371000     		dl = 574.34565000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34733891-0.34724876) × R
    9.01500000000111e-05 × 6371000     		dr = 574.34565000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57735202-0.57744789) × cos(0.34733891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940281867661883 × 6371000     		do = 574.312665120624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57735202-0.57744789) × cos(0.34724876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94031255061621 × 6371000     		du = 574.331405893874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34733891)-sin(0.34724876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940281867661883-0.94031255061621)×R²
    abs(0.57744789-0.57735202)×3.06829543265108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06829543265108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06829543265108e-05×40589641000000     		ar = 329859.363016302m²