Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38790 / 29019
↖ ↑ ↗
← N 20.164255°
E 33.079834°		 ← 573.35 m → N 20.164255°
E 33.085327°		 →
↑
573.39 m
↓
↑
573.39 m
↓
N 20.159098°
E 33.079834°		 ← 573.37 m →
328 759 m²		 N 20.159098°
E 33.085327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591896057128906 y=0.442802429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591896057128906 × 216)
    floor (0.591896057128906 × 65536)
    floor (38790.5)     		tx = 38790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442802429199219 × 216)
    floor (0.442802429199219 × 65536)
    floor (29019.5)     		ty = 29019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38790 / 29019 ti = "16/38790/29019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38790/29019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38790 ÷ 216
    38790 ÷ 65536     		x = 0.591888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29019 ÷ 216
    29019 ÷ 65536     		y = 0.442794799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591888427734375 × 2 - 1) × π
    0.18377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57735202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442794799804688 × 2 - 1) × π
    0.114410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.359430873351181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57735202} λ = 0.57735202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359430873351181))-π/2
    2×atan(1.43251390068133)-π/2
    2×0.961364482427805-π/2
    1.92272896485561-1.57079632675     		φ = 0.35193264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57735202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.079834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35193264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.164255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38790 KachelY 29019 0.57735202 0.35193264 33.079834 20.164255
    Oben rechts KachelX + 1 38791 KachelY 29019 0.57744789 0.35193264 33.085327 20.164255
    Unten links KachelX 38790 KachelY + 1 29020 0.57735202 0.35184264 33.079834 20.159098
    Unten rechts KachelX + 1 38791 KachelY + 1 29020 0.57744789 0.35184264 33.085327 20.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35193264-0.35184264) × R
    9.00000000000345e-05 × 6371000     		dl = 573.39000000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35193264-0.35184264) × R
    9.00000000000345e-05 × 6371000     		dr = 573.39000000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57735202-0.57744789) × cos(0.35193264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93870826091759 × 6371000     		do = 573.35152536642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57735202-0.57744789) × cos(0.35184264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93873928125295 × 6371000     		du = 573.37047220788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35193264)-sin(0.35184264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93870826091759-0.93873928125295)×R²
    abs(0.57744789-0.57735202)×3.10203353600658e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10203353600658e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10203353600658e-05×40589641000000     		ar = 328759.463316443m²