Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3879 / 2198
↖ ↑ ↗
← N 63.743631°
W  9.536133°		 ← 2 161.73 m → N 63.743631°
W  9.492188°		 →
↑
2 162.51 m
↓
↑
2 162.51 m
↓
N 63.724183°
W  9.536133°		 ← 2 163.22 m →
4 676 363 m²		 N 63.724183°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47357177734375 y=0.26837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47357177734375 × 213)
    floor (0.47357177734375 × 8192)
    floor (3879.5)     		tx = 3879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26837158203125 × 213)
    floor (0.26837158203125 × 8192)
    floor (2198.5)     		ty = 2198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3879 / 2198 ti = "13/3879/2198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3879/2198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3879 ÷ 213
    3879 ÷ 8192     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2198 ÷ 213
    2198 ÷ 8192     		y = 0.268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268310546875 × 2 - 1) × π
    0.46337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45574776766187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45574776766187))-π/2
    2×atan(4.28768846193246)-π/2
    2×1.34166628223617-π/2
    2.68333256447234-1.57079632675     		φ = 1.11253624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11253624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.743631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3879 KachelY 2198 -0.16643692 1.11253624 -9.536133 63.743631
    Oben rechts KachelX + 1 3880 KachelY 2198 -0.16566993 1.11253624 -9.492188 63.743631
    Unten links KachelX 3879 KachelY + 1 2199 -0.16643692 1.11219681 -9.536133 63.724183
    Unten rechts KachelX + 1 3880 KachelY + 1 2199 -0.16566993 1.11219681 -9.492188 63.724183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11253624-1.11219681) × R
    0.00033943000000014 × 6371000     		dl = 2162.5085300009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11253624-1.11219681) × R
    0.00033943000000014 × 6371000     		dr = 2162.5085300009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16566993) × cos(1.11253624) × R
    0.000766989999999995 × 0.442388382197799 × 6371000     		do = 2161.72786118349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16566993) × cos(1.11219681) × R
    0.000766989999999995 × 0.442692765532613 × 6371000     		du = 2163.21522830664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11253624)-sin(1.11219681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442388382197799-0.442692765532613)×R²
    abs(-0.16566993--0.16643692)×0.000304383334813862×R²
    0.000766989999999995×0.000304383334813862×6371000²
    0.000766989999999995×0.000304383334813862×40589641000000     		ar = 4676363.20629327m²