Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38785 / 30112
↖ ↑ ↗
← N 14.434680°
E 33.052368°		 ← 591.51 m → N 14.434680°
E 33.057861°		 →
↑
591.55 m
↓
↑
591.55 m
↓
N 14.429361°
E 33.052368°		 ← 591.52 m →
349 908 m²		 N 14.429361°
E 33.057861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591819763183594 y=0.459480285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591819763183594 × 216)
    floor (0.591819763183594 × 65536)
    floor (38785.5)     		tx = 38785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459480285644531 × 216)
    floor (0.459480285644531 × 65536)
    floor (30112.5)     		ty = 30112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38785 / 30112 ti = "16/38785/30112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38785/30112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38785 ÷ 216
    38785 ÷ 65536     		x = 0.591812133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30112 ÷ 216
    30112 ÷ 65536     		y = 0.45947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591812133789062 × 2 - 1) × π
    0.183624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57687265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57687265} λ = 0.57687265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254640810781738))-π/2
    2×atan(1.2899981842078)-π/2
    2×0.911364511508635-π/2
    1.82272902301727-1.57079632675     		φ = 0.25193270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57687265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.052368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25193270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.434680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38785 KachelY 30112 0.57687265 0.25193270 33.052368 14.434680
    Oben rechts KachelX + 1 38786 KachelY 30112 0.57696852 0.25193270 33.057861 14.434680
    Unten links KachelX 38785 KachelY + 1 30113 0.57687265 0.25183985 33.052368 14.429361
    Unten rechts KachelX + 1 38786 KachelY + 1 30113 0.57696852 0.25183985 33.057861 14.429361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25193270-0.25183985) × R
    9.28500000000332e-05 × 6371000     		dl = 591.547350000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25193270-0.25183985) × R
    9.28500000000332e-05 × 6371000     		dr = 591.547350000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57687265-0.57696852) × cos(0.25193270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968432454773362 × 6371000     		do = 591.506699446635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57687265-0.57696852) × cos(0.25183985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968455595885939 × 6371000     		du = 591.520833755181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25193270)-sin(0.25183985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968432454773362-0.968455595885939)×R²
    abs(0.57696852-0.57687265)×2.3141112576841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.3141112576841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.3141112576841e-05×40589641000000     		ar = 349908.401372799m²