Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38782 / 29022
↖ ↑ ↗
← N 20.148785°
E 33.035889°		 ← 573.41 m → N 20.148785°
E 33.041382°		 →
↑
573.45 m
↓
↑
573.45 m
↓
N 20.143627°
E 33.035889°		 ← 573.43 m →
328 829 m²		 N 20.143627°
E 33.041382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591773986816406 y=0.442848205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591773986816406 × 216)
    floor (0.591773986816406 × 65536)
    floor (38782.5)     		tx = 38782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442848205566406 × 216)
    floor (0.442848205566406 × 65536)
    floor (29022.5)     		ty = 29022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38782 / 29022 ti = "16/38782/29022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38782/29022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38782 ÷ 216
    38782 ÷ 65536     		x = 0.591766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29022 ÷ 216
    29022 ÷ 65536     		y = 0.442840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591766357421875 × 2 - 1) × π
    0.18353271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57658503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442840576171875 × 2 - 1) × π
    0.11431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.359143251953461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57658503} λ = 0.57658503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359143251953461))-π/2
    2×atan(1.4321019382784)-π/2
    2×0.961229479445879-π/2
    1.92245895889176-1.57079632675     		φ = 0.35166263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57658503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35166263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.148785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38782 KachelY 29022 0.57658503 0.35166263 33.035889 20.148785
    Oben rechts KachelX + 1 38783 KachelY 29022 0.57668090 0.35166263 33.041382 20.148785
    Unten links KachelX 38782 KachelY + 1 29023 0.57658503 0.35157262 33.035889 20.143627
    Unten rechts KachelX + 1 38783 KachelY + 1 29023 0.57668090 0.35157262 33.041382 20.143627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35166263-0.35157262) × R
    9.00099999999737e-05 × 6371000     		dl = 573.453709999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35166263-0.35157262) × R
    9.00099999999737e-05 × 6371000     		dr = 573.453709999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57658503-0.57668090) × cos(0.35166263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938801302556646 × 6371000     		do = 573.408354061657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57658503-0.57668090) × cos(0.35157262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93883230352279 × 6371000     		du = 573.427289072636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35166263)-sin(0.35157262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938801302556646-0.93883230352279)×R²
    abs(0.57668090-0.57658503)×3.10009661437238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10009661437238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10009661437238e-05×40589641000000     		ar = 328828.577379609m²