Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3878 / 812
↖ ↑ ↗
← N 72.919636°
E160.839844°		 ← 2 870.45 m → N 72.919636°
E160.927734°		 →
↑
2 872.56 m
↓
↑
2 872.56 m
↓
N 72.893802°
E160.839844°		 ← 2 874.66 m →
8 251 581 m²		 N 72.893802°
E160.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9468994140625 y=0.1983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9468994140625 × 212)
    floor (0.9468994140625 × 4096)
    floor (3878.5)     		tx = 3878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1983642578125 × 212)
    floor (0.1983642578125 × 4096)
    floor (812.5)     		ty = 812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3878 / 812 ti = "12/3878/812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3878/812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3878 ÷ 212
    3878 ÷ 4096     		x = 0.94677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 812 ÷ 212
    812 ÷ 4096     		y = 0.1982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94677734375 × 2 - 1) × π
    0.8935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80718484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1982421875 × 2 - 1) × π
    0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80718484} λ = 2.80718484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89600025377246))-π/2
    2×atan(6.65920597034362)-π/2
    2×1.42174202750574-π/2
    2.84348405501148-1.57079632675     		φ = 1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80718484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3878 KachelY 812 2.80718484 1.27268773 160.839844 72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 3879 KachelY 812 2.80871882 1.27268773 160.927734 72.919636
    Unten links KachelX 3878 KachelY + 1 813 2.80718484 1.27223685 160.839844 72.893802
    Unten rechts KachelX + 1 3879 KachelY + 1 813 2.80871882 1.27223685 160.927734 72.893802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27268773-1.27223685) × R
    0.00045087999999982 × 6371000     		dl = 2872.55647999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27268773-1.27223685) × R
    0.00045087999999982 × 6371000     		dr = 2872.55647999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80718484-2.80871882) × cos(1.27268773) × R
    0.00153398000000005 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 2870.45078995959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80718484-2.80871882) × cos(1.27223685) × R
    0.00153398000000005 × 0.29414371613804 × 6371000     		du = 2874.66259040848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27268773)-sin(1.27223685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.29414371613804)×R²
    abs(2.80871882-2.80718484)×0.000430963494568226×R²
    0.00153398000000005×0.000430963494568226×6371000²
    0.00153398000000005×0.000430963494568226×40589641000000     		ar = 8251581.4743489m²