Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38779 / 30115
↖ ↑ ↗
← N 14.418720°
E 33.019409°		 ← 591.55 m → N 14.418720°
E 33.024902°		 →
↑
591.55 m
↓
↑
591.55 m
↓
N 14.413400°
E 33.019409°		 ← 591.56 m →
349 933 m²		 N 14.413400°
E 33.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591728210449219 y=0.459526062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591728210449219 × 216)
    floor (0.591728210449219 × 65536)
    floor (38779.5)     		tx = 38779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459526062011719 × 216)
    floor (0.459526062011719 × 65536)
    floor (30115.5)     		ty = 30115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38779 / 30115 ti = "16/38779/30115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38779/30115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38779 ÷ 216
    38779 ÷ 65536     		x = 0.591720581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30115 ÷ 216
    30115 ÷ 65536     		y = 0.459518432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591720581054688 × 2 - 1) × π
    0.183441162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57629741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    0.080963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.254353189384018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57629741} λ = 0.57629741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254353189384018))-π/2
    2×atan(1.28962720648013)-π/2
    2×0.911225235569397-π/2
    1.82245047113879-1.57079632675     		φ = 0.25165414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57629741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.019409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25165414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.418720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38779 KachelY 30115 0.57629741 0.25165414 33.019409 14.418720
    Oben rechts KachelX + 1 38780 KachelY 30115 0.57639328 0.25165414 33.024902 14.418720
    Unten links KachelX 38779 KachelY + 1 30116 0.57629741 0.25156129 33.019409 14.413400
    Unten rechts KachelX + 1 38780 KachelY + 1 30116 0.57639328 0.25156129 33.024902 14.413400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25165414-0.25156129) × R
    9.28500000000332e-05 × 6371000     		dl = 591.547350000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25165414-0.25156129) × R
    9.28500000000332e-05 × 6371000     		dr = 591.547350000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57629741-0.57639328) × cos(0.25165414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968501855553434 × 6371000     		do = 591.549088594331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57629741-0.57639328) × cos(0.25156129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96852497161699 × 6371000     		du = 591.563207603242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25165414)-sin(0.25156129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968501855553434-0.96852497161699)×R²
    abs(0.57639328-0.57629741)×2.31160635563166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31160635563166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31160635563166e-05×40589641000000     		ar = 349933.472035604m²