Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38777 / 29017
↖ ↑ ↗
← N 20.174568°
E 33.008423°		 ← 573.31 m → N 20.174568°
E 33.013916°		 →
↑
573.39 m
↓
↑
573.39 m
↓
N 20.169411°
E 33.008423°		 ← 573.33 m →
328 738 m²		 N 20.169411°
E 33.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591697692871094 y=0.442771911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591697692871094 × 216)
    floor (0.591697692871094 × 65536)
    floor (38777.5)     		tx = 38777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442771911621094 × 216)
    floor (0.442771911621094 × 65536)
    floor (29017.5)     		ty = 29017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38777 / 29017 ti = "16/38777/29017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38777/29017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38777 ÷ 216
    38777 ÷ 65536     		x = 0.591690063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29017 ÷ 216
    29017 ÷ 65536     		y = 0.442764282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591690063476562 × 2 - 1) × π
    0.183380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57610566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442764282226562 × 2 - 1) × π
    0.114471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.359622620949661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57610566} λ = 0.57610566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359622620949661))-π/2
    2×atan(1.43278860811798)-π/2
    2×0.961454476980481-π/2
    1.92290895396096-1.57079632675     		φ = 0.35211263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57610566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.008423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35211263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.174568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38777 KachelY 29017 0.57610566 0.35211263 33.008423 20.174568
    Oben rechts KachelX + 1 38778 KachelY 29017 0.57620153 0.35211263 33.013916 20.174568
    Unten links KachelX 38777 KachelY + 1 29018 0.57610566 0.35202263 33.008423 20.169411
    Unten rechts KachelX + 1 38778 KachelY + 1 29018 0.57620153 0.35202263 33.013916 20.169411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35211263-0.35202263) × R
    8.9999999999979e-05 × 6371000     		dl = 573.389999999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35211263-0.35202263) × R
    8.9999999999979e-05 × 6371000     		dr = 573.389999999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57610566-0.57620153) × cos(0.35211263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938646200885326 × 6371000     		do = 573.313619857708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57610566-0.57620153) × cos(0.35202263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938677236426664 × 6371000     		du = 573.332575986792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35211263)-sin(0.35202263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938646200885326-0.938677236426664)×R²
    abs(0.57620153-0.57610566)×3.1035541337876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1035541337876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1035541337876e-05×40589641000000     		ar = 328737.731339528m²