Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38776 / 30091
↖ ↑ ↗
← N 14.546367°
E 33.002930°		 ← 591.21 m → N 14.546367°
E 33.008423°		 →
↑
591.23 m
↓
↑
591.23 m
↓
N 14.541050°
E 33.002930°		 ← 591.22 m →
349 544 m²		 N 14.541050°
E 33.008423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591682434082031 y=0.459159851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591682434082031 × 216)
    floor (0.591682434082031 × 65536)
    floor (38776.5)     		tx = 38776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459159851074219 × 216)
    floor (0.459159851074219 × 65536)
    floor (30091.5)     		ty = 30091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38776 / 30091 ti = "16/38776/30091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38776/30091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38776 ÷ 216
    38776 ÷ 65536     		x = 0.5916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30091 ÷ 216
    30091 ÷ 65536     		y = 0.459152221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459152221679688 × 2 - 1) × π
    0.081695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.256654160565781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57600979} λ = 0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256654160565781))-π/2
    2×atan(1.29259801808266)-π/2
    2×0.912339162929459-π/2
    1.82467832585892-1.57079632675     		φ = 0.25388200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25388200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.546367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38776 KachelY 30091 0.57600979 0.25388200 33.002930 14.546367
    Oben rechts KachelX + 1 38777 KachelY 30091 0.57610566 0.25388200 33.008423 14.546367
    Unten links KachelX 38776 KachelY + 1 30092 0.57600979 0.25378920 33.002930 14.541050
    Unten rechts KachelX + 1 38777 KachelY + 1 30092 0.57610566 0.25378920 33.008423 14.541050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25388200-0.25378920) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dl = 591.228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25388200-0.25378920) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dr = 591.228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57600979-0.57610566) × cos(0.25388200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967944701243955 × 6371000     		do = 591.208785556098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57600979-0.57610566) × cos(0.25378920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967968005039888 × 6371000     		du = 591.223019229649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25388200)-sin(0.25378920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967944701243955-0.967968005039888)×R²
    abs(0.57610566-0.57600979)×2.33037959329607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33037959329607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33037959329607e-05×40589641000000     		ar = 349543.868763596m²