Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38776 / 29113
↖ ↑ ↗
← N 19.678798°
E 33.002930°		 ← 575.11 m → N 19.678798°
E 33.008423°		 →
↑
575.17 m
↓
↑
575.17 m
↓
N 19.673625°
E 33.002930°		 ← 575.13 m →
330 796 m²		 N 19.673625°
E 33.008423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591682434082031 y=0.444236755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591682434082031 × 216)
    floor (0.591682434082031 × 65536)
    floor (38776.5)     		tx = 38776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444236755371094 × 216)
    floor (0.444236755371094 × 65536)
    floor (29113.5)     		ty = 29113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38776 / 29113 ti = "16/38776/29113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38776/29113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38776 ÷ 216
    38776 ÷ 65536     		x = 0.5916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29113 ÷ 216
    29113 ÷ 65536     		y = 0.444229125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444229125976562 × 2 - 1) × π
    0.111541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35041873622261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57600979} λ = 0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35041873622261))-π/2
    2×atan(1.41966188800522)-π/2
    2×0.957128072206245-π/2
    1.91425614441249-1.57079632675     		φ = 0.34345982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34345982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.678798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38776 KachelY 29113 0.57600979 0.34345982 33.002930 19.678798
    Oben rechts KachelX + 1 38777 KachelY 29113 0.57610566 0.34345982 33.008423 19.678798
    Unten links KachelX 38776 KachelY + 1 29114 0.57600979 0.34336954 33.002930 19.673625
    Unten rechts KachelX + 1 38777 KachelY + 1 29114 0.57610566 0.34336954 33.008423 19.673625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34345982-0.34336954) × R
    9.02800000000537e-05 × 6371000     		dl = 575.173880000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34345982-0.34336954) × R
    9.02800000000537e-05 × 6371000     		dr = 575.173880000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57600979-0.57610566) × cos(0.34345982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941595219971008 × 6371000     		do = 575.114844648739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57600979-0.57610566) × cos(0.34336954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941625617639459 × 6371000     		du = 575.133411172865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34345982)-sin(0.34336954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941595219971008-0.941625617639459)×R²
    abs(0.57610566-0.57600979)×3.0397668450477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0397668450477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0397668450477e-05×40589641000000     		ar = 330796.37635707m²