Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38775 / 30078
↖ ↑ ↗
← N 14.615478°
E 32.997436°		 ← 591.08 m → N 14.615478°
E 33.002930°		 →
↑
591.10 m
↓
↑
591.10 m
↓
N 14.610163°
E 32.997436°		 ← 591.10 m →
349 395 m²		 N 14.610163°
E 33.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591667175292969 y=0.458961486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591667175292969 × 216)
    floor (0.591667175292969 × 65536)
    floor (38775.5)     		tx = 38775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458961486816406 × 216)
    floor (0.458961486816406 × 65536)
    floor (30078.5)     		ty = 30078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38775 / 30078 ti = "16/38775/30078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38775/30078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38775 ÷ 216
    38775 ÷ 65536     		x = 0.591659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30078 ÷ 216
    30078 ÷ 65536     		y = 0.458953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591659545898438 × 2 - 1) × π
    0.183319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57591391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458953857421875 × 2 - 1) × π
    0.08209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.257900519955902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57591391} λ = 0.57591391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257900519955902))-π/2
    2×atan(1.29421006414584)-π/2
    2×0.912942271863583-π/2
    1.82588454372717-1.57079632675     		φ = 0.25508822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57591391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.997436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25508822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.615478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38775 KachelY 30078 0.57591391 0.25508822 32.997436 14.615478
    Oben rechts KachelX + 1 38776 KachelY 30078 0.57600979 0.25508822 33.002930 14.615478
    Unten links KachelX 38775 KachelY + 1 30079 0.57591391 0.25499544 32.997436 14.610163
    Unten rechts KachelX + 1 38776 KachelY + 1 30079 0.57600979 0.25499544 33.002930 14.610163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25508822-0.25499544) × R
    9.2779999999959e-05 × 6371000     		dl = 591.101379999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25508822-0.25499544) × R
    9.2779999999959e-05 × 6371000     		dr = 591.101379999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57591391-0.57600979) × cos(0.25508822) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.967641038833105 × 6371000     		do = 591.084960679552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57591391-0.57600979) × cos(0.25499544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.967664445917578 × 6371000     		du = 591.099258931745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25508822)-sin(0.25499544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967641038833105-0.967664445917578)×R²
    abs(0.57600979-0.57591391)×2.3407084473237e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.3407084473237e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.3407084473237e-05×40589641000000     		ar = 349395.362063773m²