Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38774 / 30090
↖ ↑ ↗
← N 14.551684°
E 32.991943°		 ← 591.19 m → N 14.551684°
E 32.997436°		 →
↑
591.23 m
↓
↑
591.23 m
↓
N 14.546367°
E 32.991943°		 ← 591.21 m →
349 535 m²		 N 14.546367°
E 32.997436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591651916503906 y=0.459144592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591651916503906 × 216)
    floor (0.591651916503906 × 65536)
    floor (38774.5)     		tx = 38774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459144592285156 × 216)
    floor (0.459144592285156 × 65536)
    floor (30090.5)     		ty = 30090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38774 / 30090 ti = "16/38774/30090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38774/30090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38774 ÷ 216
    38774 ÷ 65536     		x = 0.591644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30090 ÷ 216
    30090 ÷ 65536     		y = 0.459136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591644287109375 × 2 - 1) × π
    0.18328857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57581804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459136962890625 × 2 - 1) × π
    0.08172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.256750034365021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57581804} λ = 0.57581804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256750034365021))-π/2
    2×atan(1.29272195030637)-π/2
    2×0.91238556263873-π/2
    1.82477112527746-1.57079632675     		φ = 0.25397480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57581804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.991943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25397480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.551684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38774 KachelY 30090 0.57581804 0.25397480 32.991943 14.551684
    Oben rechts KachelX + 1 38775 KachelY 30090 0.57591391 0.25397480 32.997436 14.551684
    Unten links KachelX 38774 KachelY + 1 30091 0.57581804 0.25388200 32.991943 14.546367
    Unten rechts KachelX + 1 38775 KachelY + 1 30091 0.57591391 0.25388200 32.997436 14.546367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25397480-0.25388200) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dl = 591.228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25397480-0.25388200) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dr = 591.228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57581804-0.57591391) × cos(0.25397480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967921389112237 × 6371000     		do = 591.194546791152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57581804-0.57591391) × cos(0.25388200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967944701243955 × 6371000     		du = 591.208785556098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25397480)-sin(0.25388200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967921389112237-0.967944701243955)×R²
    abs(0.57591391-0.57581804)×2.33121317178009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33121317178009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33121317178009e-05×40589641000000     		ar = 349535.451900655m²