Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38773 / 30092
↖ ↑ ↗
← N 14.541050°
E 32.986450°		 ← 591.28 m → N 14.541050°
E 32.991943°		 →
↑
591.29 m
↓
↑
591.29 m
↓
N 14.535732°
E 32.986450°		 ← 591.30 m →
349 626 m²		 N 14.535732°
E 32.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591636657714844 y=0.459175109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591636657714844 × 216)
    floor (0.591636657714844 × 65536)
    floor (38773.5)     		tx = 38773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459175109863281 × 216)
    floor (0.459175109863281 × 65536)
    floor (30092.5)     		ty = 30092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38773 / 30092 ti = "16/38773/30092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38773/30092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38773 ÷ 216
    38773 ÷ 65536     		x = 0.591629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30092 ÷ 216
    30092 ÷ 65536     		y = 0.45916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591629028320312 × 2 - 1) × π
    0.183258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57572216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45916748046875 × 2 - 1) × π
    0.0816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.256558286766541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57572216} λ = 0.57572216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256558286766541))-π/2
    2×atan(1.29247409774023)-π/2
    2×0.912292762102869-π/2
    1.82458552420574-1.57079632675     		φ = 0.25378920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57572216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25378920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.541050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38773 KachelY 30092 0.57572216 0.25378920 32.986450 14.541050
    Oben rechts KachelX + 1 38774 KachelY 30092 0.57581804 0.25378920 32.991943 14.541050
    Unten links KachelX 38773 KachelY + 1 30093 0.57572216 0.25369639 32.986450 14.535732
    Unten rechts KachelX + 1 38774 KachelY + 1 30093 0.57581804 0.25369639 32.991943 14.535732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25378920-0.25369639) × R
    9.28099999999987e-05 × 6371000     		dl = 591.292509999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25378920-0.25369639) × R
    9.28099999999987e-05 × 6371000     		dr = 591.292509999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57572216-0.57581804) × cos(0.25378920) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967968005039888 × 6371000     		do = 591.28468847156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57572216-0.57581804) × cos(0.25369639) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.967991303009672 × 6371000     		du = 591.298920070884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25378920)-sin(0.25369639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967968005039888-0.967991303009672)×R²
    abs(0.57581804-0.57572216)×2.32979697848412e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.32979697848412e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.32979697848412e-05×40589641000000     		ar = 349626.41534086m²