Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38772 / 30077
↖ ↑ ↗
← N 14.620794°
E 32.980957°		 ← 591.01 m → N 14.620794°
E 32.986450°		 →
↑
591.04 m
↓
↑
591.04 m
↓
N 14.615478°
E 32.980957°		 ← 591.02 m →
349 313 m²		 N 14.615478°
E 32.986450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591621398925781 y=0.458946228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591621398925781 × 216)
    floor (0.591621398925781 × 65536)
    floor (38772.5)     		tx = 38772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458946228027344 × 216)
    floor (0.458946228027344 × 65536)
    floor (30077.5)     		ty = 30077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38772 / 30077 ti = "16/38772/30077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38772/30077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38772 ÷ 216
    38772 ÷ 65536     		x = 0.59161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30077 ÷ 216
    30077 ÷ 65536     		y = 0.458938598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59161376953125 × 2 - 1) × π
    0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458938598632812 × 2 - 1) × π
    0.082122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.257996393755142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57562629} λ = 0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257996393755142))-π/2
    2×atan(1.29433415092995)-π/2
    2×0.912988657013825-π/2
    1.82597731402765-1.57079632675     		φ = 0.25518099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25518099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.620794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38772 KachelY 30077 0.57562629 0.25518099 32.980957 14.620794
    Oben rechts KachelX + 1 38773 KachelY 30077 0.57572216 0.25518099 32.986450 14.620794
    Unten links KachelX 38772 KachelY + 1 30078 0.57562629 0.25508822 32.980957 14.615478
    Unten rechts KachelX + 1 38773 KachelY + 1 30078 0.57572216 0.25508822 32.986450 14.615478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25518099-0.25508822) × R
    9.27700000000198e-05 × 6371000     		dl = 591.037670000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25518099-0.25508822) × R
    9.27700000000198e-05 × 6371000     		dr = 591.037670000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57562629-0.57572216) × cos(0.25518099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967617625943259 × 6371000     		do = 591.009011962564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57562629-0.57572216) × cos(0.25508822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967641038833105 × 6371000     		du = 591.023312269343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25518099)-sin(0.25508822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967617625943259-0.967641038833105)×R²
    abs(0.57572216-0.57562629)×2.34128898460861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34128898460861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34128898460861e-05×40589641000000     		ar = 349312.815639924m²