Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38770 / 29075
↖ ↑ ↗
← N 19.875226°
E 32.969971°		 ← 574.47 m → N 19.875226°
E 32.975464°		 →
↑
574.41 m
↓
↑
574.41 m
↓
N 19.870060°
E 32.969971°		 ← 574.48 m →
329 984 m²		 N 19.870060°
E 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591590881347656 y=0.443656921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591590881347656 × 216)
    floor (0.591590881347656 × 65536)
    floor (38770.5)     		tx = 38770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443656921386719 × 216)
    floor (0.443656921386719 × 65536)
    floor (29075.5)     		ty = 29075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38770 / 29075 ti = "16/38770/29075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38770/29075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38770 ÷ 216
    38770 ÷ 65536     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29075 ÷ 216
    29075 ÷ 65536     		y = 0.443649291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443649291992188 × 2 - 1) × π
    0.112701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.354061940593735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354061940593735))-π/2
    2×atan(1.42484343939526)-π/2
    2×0.958842229046349-π/2
    1.9176844580927-1.57079632675     		φ = 0.34688813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34688813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.875226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38770 KachelY 29075 0.57543454 0.34688813 32.969971 19.875226
    Oben rechts KachelX + 1 38771 KachelY 29075 0.57553042 0.34688813 32.975464 19.875226
    Unten links KachelX 38770 KachelY + 1 29076 0.57543454 0.34679797 32.969971 19.870060
    Unten rechts KachelX + 1 38771 KachelY + 1 29076 0.57553042 0.34679797 32.975464 19.870060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34688813-0.34679797) × R
    9.01600000000058e-05 × 6371000     		dl = 574.409360000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34688813-0.34679797) × R
    9.01600000000058e-05 × 6371000     		dr = 574.409360000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57553042) × cos(0.34688813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940435216210799 × 6371000     		do = 574.46624366611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57553042) × cos(0.34679797) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940465864349265 × 6371000     		du = 574.484965126851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34688813)-sin(0.34679797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940435216210799-0.940465864349265)×R²
    abs(0.57553042-0.57543454)×3.06481384659829e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06481384659829e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06481384659829e-05×40589641000000     		ar = 329984.164480729m²