Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38770 / 28490
↖ ↑ ↗
← N 22.867318°
E 32.969971°		 ← 562.84 m → N 22.867318°
E 32.975464°		 →
↑
562.81 m
↓
↑
562.81 m
↓
N 22.862256°
E 32.969971°		 ← 562.86 m →
316 782 m²		 N 22.862256°
E 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591590881347656 y=0.434730529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591590881347656 × 216)
    floor (0.591590881347656 × 65536)
    floor (38770.5)     		tx = 38770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434730529785156 × 216)
    floor (0.434730529785156 × 65536)
    floor (28490.5)     		ty = 28490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38770 / 28490 ti = "16/38770/28490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38770/28490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38770 ÷ 216
    38770 ÷ 65536     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28490 ÷ 216
    28490 ÷ 65536     		y = 0.434722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434722900390625 × 2 - 1) × π
    0.13055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.4101481131492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4101481131492))-π/2
    2×atan(1.50704098116901)-π/2
    2×0.984953158143924-π/2
    1.96990631628785-1.57079632675     		φ = 0.39910999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39910999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.867318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38770 KachelY 28490 0.57543454 0.39910999 32.969971 22.867318
    Oben rechts KachelX + 1 38771 KachelY 28490 0.57553042 0.39910999 32.975464 22.867318
    Unten links KachelX 38770 KachelY + 1 28491 0.57543454 0.39902165 32.969971 22.862256
    Unten rechts KachelX + 1 38771 KachelY + 1 28491 0.57553042 0.39902165 32.975464 22.862256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39910999-0.39902165) × R
    8.83400000000201e-05 × 6371000     		dl = 562.814140000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39910999-0.39902165) × R
    8.83400000000201e-05 × 6371000     		dr = 562.814140000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57553042) × cos(0.39910999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.921407215381587 × 6371000     		do = 562.842961198152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57553042) × cos(0.39902165) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.921441540571952 × 6371000     		du = 562.863928791488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39910999)-sin(0.39902165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921407215381587-0.921441540571952)×R²
    abs(0.57553042-0.57543454)×3.43251903653918e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.43251903653918e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.43251903653918e-05×40589641000000     		ar = 316781.877796932m²