Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38770 / 28489
↖ ↑ ↗
← N 22.872379°
E 32.969971°		 ← 562.82 m → N 22.872379°
E 32.975464°		 →
↑
562.81 m
↓
↑
562.81 m
↓
N 22.867318°
E 32.969971°		 ← 562.84 m →
316 770 m²		 N 22.867318°
E 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591590881347656 y=0.434715270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591590881347656 × 216)
    floor (0.591590881347656 × 65536)
    floor (38770.5)     		tx = 38770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434715270996094 × 216)
    floor (0.434715270996094 × 65536)
    floor (28489.5)     		ty = 28489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38770 / 28489 ti = "16/38770/28489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38770/28489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38770 ÷ 216
    38770 ÷ 65536     		x = 0.591583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28489 ÷ 216
    28489 ÷ 65536     		y = 0.434707641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434707641601562 × 2 - 1) × π
    0.130584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.410243986948441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57543454} λ = 0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410243986948441))-π/2
    2×atan(1.5071854738399)-π/2
    2×0.984997326726282-π/2
    1.96999465345256-1.57079632675     		φ = 0.39919833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39919833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.872379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38770 KachelY 28489 0.57543454 0.39919833 32.969971 22.872379
    Oben rechts KachelX + 1 38771 KachelY 28489 0.57553042 0.39919833 32.975464 22.872379
    Unten links KachelX 38770 KachelY + 1 28490 0.57543454 0.39910999 32.969971 22.867318
    Unten rechts KachelX + 1 38771 KachelY + 1 28490 0.57553042 0.39910999 32.975464 22.867318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39919833-0.39910999) × R
    8.83399999999646e-05 × 6371000     		dl = 562.814139999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39919833-0.39910999) × R
    8.83399999999646e-05 × 6371000     		dr = 562.814139999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57543454-0.57553042) × cos(0.39919833) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.921372883000601 × 6371000     		do = 562.821989212415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57543454-0.57553042) × cos(0.39910999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.921407215381587 × 6371000     		du = 562.842961198152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39919833)-sin(0.39910999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921372883000601-0.921407215381587)×R²
    abs(0.57553042-0.57543454)×3.43323809861573e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.43323809861573e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.43323809861573e-05×40589641000000     		ar = 316770.075702581m²