Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38769 / 30093
↖ ↑ ↗
← N 14.535732°
E 32.964478°		 ← 591.24 m → N 14.535732°
E 32.969971°		 →
↑
591.23 m
↓
↑
591.23 m
↓
N 14.530415°
E 32.964478°		 ← 591.25 m →
349 561 m²		 N 14.530415°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591575622558594 y=0.459190368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591575622558594 × 216)
    floor (0.591575622558594 × 65536)
    floor (38769.5)     		tx = 38769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459190368652344 × 216)
    floor (0.459190368652344 × 65536)
    floor (30093.5)     		ty = 30093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38769 / 30093 ti = "16/38769/30093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38769/30093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38769 ÷ 216
    38769 ÷ 65536     		x = 0.591567993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30093 ÷ 216
    30093 ÷ 65536     		y = 0.459182739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591567993164062 × 2 - 1) × π
    0.183135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57533867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459182739257812 × 2 - 1) × π
    0.081634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.2564624129673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57533867} λ = 0.57533867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2564624129673))-π/2
    2×atan(1.29235018927794)-π/2
    2×0.912246360159334-π/2
    1.82449272031867-1.57079632675     		φ = 0.25369639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57533867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.964478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25369639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.535732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38769 KachelY 30093 0.57533867 0.25369639 32.964478 14.535732
    Oben rechts KachelX + 1 38770 KachelY 30093 0.57543454 0.25369639 32.969971 14.535732
    Unten links KachelX 38769 KachelY + 1 30094 0.57533867 0.25360359 32.964478 14.530415
    Unten rechts KachelX + 1 38770 KachelY + 1 30094 0.57543454 0.25360359 32.969971 14.530415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25369639-0.25360359) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dl = 591.228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25369639-0.25360359) × R
    9.2800000000004e-05 × 6371000     		dr = 591.228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57533867-0.57543454) × cos(0.25369639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967991303009672 × 6371000     		do = 591.237249344659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57533867-0.57543454) × cos(0.25360359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968014590132535 × 6371000     		du = 591.251472834502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25369639)-sin(0.25360359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967991303009672-0.968014590132535)×R²
    abs(0.57543454-0.57533867)×2.3287122862814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.3287122862814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.3287122862814e-05×40589641000000     		ar = 349560.694364615m²