Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38769 / 28761
↖ ↑ ↗
← N 21.488853°
E 32.964478°		 ← 568.33 m → N 21.488853°
E 32.969971°		 →
↑
568.42 m
↓
↑
568.42 m
↓
N 21.483741°
E 32.964478°		 ← 568.35 m →
323 057 m²		 N 21.483741°
E 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591575622558594 y=0.438865661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591575622558594 × 216)
    floor (0.591575622558594 × 65536)
    floor (38769.5)     		tx = 38769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438865661621094 × 216)
    floor (0.438865661621094 × 65536)
    floor (28761.5)     		ty = 28761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38769 / 28761 ti = "16/38769/28761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38769/28761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38769 ÷ 216
    38769 ÷ 65536     		x = 0.591567993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28761 ÷ 216
    28761 ÷ 65536     		y = 0.438858032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591567993164062 × 2 - 1) × π
    0.183135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57533867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438858032226562 × 2 - 1) × π
    0.122283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.38416631355513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57533867} λ = 0.57533867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38416631355513))-π/2
    2×atan(1.46838963447557)-π/2
    2×0.97292377616425-π/2
    1.9458475523285-1.57079632675     		φ = 0.37505123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57533867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.964478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37505123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.488853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38769 KachelY 28761 0.57533867 0.37505123 32.964478 21.488853
    Oben rechts KachelX + 1 38770 KachelY 28761 0.57543454 0.37505123 32.969971 21.488853
    Unten links KachelX 38769 KachelY + 1 28762 0.57533867 0.37496201 32.964478 21.483741
    Unten rechts KachelX + 1 38770 KachelY + 1 28762 0.57543454 0.37496201 32.969971 21.483741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37505123-0.37496201) × R
    8.9220000000001e-05 × 6371000     		dl = 568.420620000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37505123-0.37496201) × R
    8.9220000000001e-05 × 6371000     		dr = 568.420620000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57533867-0.57543454) × cos(0.37505123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930488856549593 × 6371000     		do = 568.331213701763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57533867-0.57543454) × cos(0.37496201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930521535934218 × 6371000     		du = 568.351173870223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37505123)-sin(0.37496201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930488856549593-0.930521535934218)×R²
    abs(0.57543454-0.57533867)×3.2679384625145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2679384625145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2679384625145e-05×40589641000000     		ar = 323056.853957594m²