Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38767 / 29107
↖ ↑ ↗
← N 19.709829°
E 32.953491°		 ← 575.06 m → N 19.709829°
E 32.958985°		 →
↑
575.05 m
↓
↑
575.05 m
↓
N 19.704657°
E 32.953491°		 ← 575.08 m →
330 693 m²		 N 19.704657°
E 32.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591545104980469 y=0.444145202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591545104980469 × 216)
    floor (0.591545104980469 × 65536)
    floor (38767.5)     		tx = 38767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444145202636719 × 216)
    floor (0.444145202636719 × 65536)
    floor (29107.5)     		ty = 29107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38767 / 29107 ti = "16/38767/29107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38767/29107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38767 ÷ 216
    38767 ÷ 65536     		x = 0.591537475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29107 ÷ 216
    29107 ÷ 65536     		y = 0.444137573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591537475585938 × 2 - 1) × π
    0.183074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57514692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444137573242188 × 2 - 1) × π
    0.111724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.350993979018051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57514692} λ = 0.57514692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350993979018051))-π/2
    2×atan(1.4204787732094)-π/2
    2×0.957398868897467-π/2
    1.91479773779493-1.57079632675     		φ = 0.34400141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57514692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34400141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.709829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38767 KachelY 29107 0.57514692 0.34400141 32.953491 19.709829
    Oben rechts KachelX + 1 38768 KachelY 29107 0.57524280 0.34400141 32.958985 19.709829
    Unten links KachelX 38767 KachelY + 1 29108 0.57514692 0.34391115 32.953491 19.704657
    Unten rechts KachelX + 1 38768 KachelY + 1 29108 0.57524280 0.34391115 32.958985 19.704657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34400141-0.34391115) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dl = 575.046460000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34400141-0.34391115) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dr = 575.046460000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57514692-0.57524280) × cos(0.34400141) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941412703158611 × 6371000     		do = 575.063343015527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57514692-0.57524280) × cos(0.34391115) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941443140118968 × 6371000     		du = 575.081935477808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34400141)-sin(0.34391115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941412703158611-0.941443140118968)×R²
    abs(0.57524280-0.57514692)×3.0436960356095e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.0436960356095e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.0436960356095e-05×40589641000000     		ar = 330693.485666226m²