Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38767 / 28689
↖ ↑ ↗
← N 21.856400°
E 32.953491°		 ← 566.94 m → N 21.856400°
E 32.958985°		 →
↑
566.89 m
↓
↑
566.89 m
↓
N 21.851302°
E 32.953491°		 ← 566.96 m →
321 401 m²		 N 21.851302°
E 32.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591545104980469 y=0.437767028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591545104980469 × 216)
    floor (0.591545104980469 × 65536)
    floor (38767.5)     		tx = 38767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437767028808594 × 216)
    floor (0.437767028808594 × 65536)
    floor (28689.5)     		ty = 28689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38767 / 28689 ti = "16/38767/28689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38767/28689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38767 ÷ 216
    38767 ÷ 65536     		x = 0.591537475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28689 ÷ 216
    28689 ÷ 65536     		y = 0.437759399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591537475585938 × 2 - 1) × π
    0.183074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57514692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437759399414062 × 2 - 1) × π
    0.124481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.391069227100418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57514692} λ = 0.57514692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391069227100418))-π/2
    2×atan(1.47856086635188)-π/2
    2×0.976131239167723-π/2
    1.95226247833545-1.57079632675     		φ = 0.38146615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57514692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38146615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.856400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38767 KachelY 28689 0.57514692 0.38146615 32.953491 21.856400
    Oben rechts KachelX + 1 38768 KachelY 28689 0.57524280 0.38146615 32.958985 21.856400
    Unten links KachelX 38767 KachelY + 1 28690 0.57514692 0.38137717 32.953491 21.851302
    Unten rechts KachelX + 1 38768 KachelY + 1 28690 0.57524280 0.38137717 32.958985 21.851302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38146615-0.38137717) × R
    8.89800000000163e-05 × 6371000     		dl = 566.891580000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38146615-0.38137717) × R
    8.89800000000163e-05 × 6371000     		dr = 566.891580000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57514692-0.57524280) × cos(0.38146615) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928119812598483 × 6371000     		do = 566.94336114339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57514692-0.57524280) × cos(0.38137717) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.92815293454388 × 6371000     		du = 566.963593732757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38146615)-sin(0.38137717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928119812598483-0.92815293454388)×R²
    abs(0.57524280-0.57514692)×3.31219453975073e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.31219453975073e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.31219453975073e-05×40589641000000     		ar = 321401.152823434m²