Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38766 / 30075
↖ ↑ ↗
← N 14.631424°
E 32.947998°		 ← 590.98 m → N 14.631424°
E 32.953491°		 →
↑
590.97 m
↓
↑
590.97 m
↓
N 14.626109°
E 32.947998°		 ← 590.99 m →
349 258 m²		 N 14.626109°
E 32.953491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591529846191406 y=0.458915710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591529846191406 × 216)
    floor (0.591529846191406 × 65536)
    floor (38766.5)     		tx = 38766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458915710449219 × 216)
    floor (0.458915710449219 × 65536)
    floor (30075.5)     		ty = 30075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38766 / 30075 ti = "16/38766/30075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38766/30075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38766 ÷ 216
    38766 ÷ 65536     		x = 0.591522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30075 ÷ 216
    30075 ÷ 65536     		y = 0.458908081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591522216796875 × 2 - 1) × π
    0.18304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57505105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458908081054688 × 2 - 1) × π
    0.082183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.258188141353622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57505105} λ = 0.57505105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258188141353622))-π/2
    2×atan(1.29458236019102)-π/2
    2×0.913081423946345-π/2
    1.82616284789269-1.57079632675     		φ = 0.25536652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57505105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.947998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25536652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.631424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38766 KachelY 30075 0.57505105 0.25536652 32.947998 14.631424
    Oben rechts KachelX + 1 38767 KachelY 30075 0.57514692 0.25536652 32.953491 14.631424
    Unten links KachelX 38766 KachelY + 1 30076 0.57505105 0.25527376 32.947998 14.626109
    Unten rechts KachelX + 1 38767 KachelY + 1 30076 0.57514692 0.25527376 32.953491 14.626109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25536652-0.25527376) × R
    9.27599999999695e-05 × 6371000     		dl = 590.973959999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25536652-0.25527376) × R
    9.27599999999695e-05 × 6371000     		dr = 590.973959999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57505105-0.57514692) × cos(0.25536652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967570777707025 × 6371000     		do = 590.980397632827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57505105-0.57514692) × cos(0.25527376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967594204725831 × 6371000     		du = 590.994706569401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25536652)-sin(0.25527376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967570777707025-0.967594204725831)×R²
    abs(0.57514692-0.57505105)×2.34270188065322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34270188065322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34270188065322e-05×40589641000000     		ar = 349258.254226259m²