Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38766 / 29014
↖ ↑ ↗
← N 20.190035°
E 32.947998°		 ← 573.26 m → N 20.190035°
E 32.953491°		 →
↑
573.33 m
↓
↑
573.33 m
↓
N 20.184879°
E 32.947998°		 ← 573.28 m →
328 669 m²		 N 20.184879°
E 32.953491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591529846191406 y=0.442726135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591529846191406 × 216)
    floor (0.591529846191406 × 65536)
    floor (38766.5)     		tx = 38766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442726135253906 × 216)
    floor (0.442726135253906 × 65536)
    floor (29014.5)     		ty = 29014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38766 / 29014 ti = "16/38766/29014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38766/29014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38766 ÷ 216
    38766 ÷ 65536     		x = 0.591522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29014 ÷ 216
    29014 ÷ 65536     		y = 0.442718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591522216796875 × 2 - 1) × π
    0.18304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57505105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442718505859375 × 2 - 1) × π
    0.11456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359910242347382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57505105} λ = 0.57505105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359910242347382))-π/2
    2×atan(1.43320076805025)-π/2
    2×0.961589457650277-π/2
    1.92317891530055-1.57079632675     		φ = 0.35238259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57505105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.947998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35238259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.190035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38766 KachelY 29014 0.57505105 0.35238259 32.947998 20.190035
    Oben rechts KachelX + 1 38767 KachelY 29014 0.57514692 0.35238259 32.953491 20.190035
    Unten links KachelX 38766 KachelY + 1 29015 0.57505105 0.35229260 32.947998 20.184879
    Unten rechts KachelX + 1 38767 KachelY + 1 29015 0.57514692 0.35229260 32.953491 20.184879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35238259-0.35229260) × R
    8.99899999999842e-05 × 6371000     		dl = 573.3262899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35238259-0.35229260) × R
    8.99899999999842e-05 × 6371000     		dr = 573.3262899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57505105-0.57514692) × cos(0.35238259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938553062449513 × 6371000     		do = 573.256732040196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57505105-0.57514692) × cos(0.35229260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938584117345315 × 6371000     		du = 573.275699990751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35238259)-sin(0.35229260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938553062449513-0.938584117345315)×R²
    abs(0.57514692-0.57505105)×3.10548958021295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10548958021295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10548958021295e-05×40589641000000     		ar = 328668.593032239m²